W kwadracie ABCD punkt E dzieli bok DC tak, że DE:EC=1:3 natomisat punkt F jest środkiem boku BC. Prosta EF przecina się z prostą AB w punkcie G. Wiedząc, że roznica obwodów trapezu AGCD i kwadratu ABCD wynosi 7, oblicz:
a) długosc boku kwadratu
b) pole trójkąta AGE
Z góry dzięki za rozwiązanie zadania.
W kwadracie
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
W kwadracie
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = a\\
Obw_{ABCD}=4a}\)
Oznaczmy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pomiędzy odcinkami \(\displaystyle{ \left| EC\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| CF\right|}\). To ten sam kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pomiędzy odcinkami \(\displaystyle{ \left| GB\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| BF\right|}\).
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\left| FC\right| }{\left| EC\right| } = \frac{ \frac{1}{2} a}{ \frac{3}{4} a}= \frac{2}{3} \\
\tg \alpha = \frac{\left|BF \right| }{\left| GB\right| } \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{\frac{1}{2} a }{\left| GB\right| } \Rightarrow \left| GB\right| = \frac{3}{4} a}\)
\(\displaystyle{ \left| CG\right|= \sqrt{\left| BC\right|^2+ \left|BG \right|^2 } = \sqrt{a^2+\left( \frac{3}{4} a\right) ^2}= \sqrt{ \frac{25}{16} a^2}= \frac{5}{4}a}\)
\(\displaystyle{ Obw_{AGCD} = 3a + \frac{3}{4}a +\frac{5}{4}a=5a\\
Obw_{AGCD} - Obw_{ABCD}=7 \Rightarrow 5a-4a=7 \Rightarrow a=7}\)
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość trójkąta \(\displaystyle{ AGE}\) jest równa odcinkowi \(\displaystyle{ AD}\)
\(\displaystyle{ P_{AGE} = \frac{1}{2} \left| AG\right|h = \frac{1}{2}\left( a+ \frac{3}{4}a \right)a =\frac{1}{2} \cdot \frac{49}{4} \cdot 7= \frac{343}{8}}\)
Odp.: Długość boku kwadratu wynosi \(\displaystyle{ 7}\), a pole trójkąta \(\displaystyle{ AGE}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{343}{8}}\).
Obw_{ABCD}=4a}\)
Oznaczmy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pomiędzy odcinkami \(\displaystyle{ \left| EC\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| CF\right|}\). To ten sam kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pomiędzy odcinkami \(\displaystyle{ \left| GB\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| BF\right|}\).
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\left| FC\right| }{\left| EC\right| } = \frac{ \frac{1}{2} a}{ \frac{3}{4} a}= \frac{2}{3} \\
\tg \alpha = \frac{\left|BF \right| }{\left| GB\right| } \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{\frac{1}{2} a }{\left| GB\right| } \Rightarrow \left| GB\right| = \frac{3}{4} a}\)
\(\displaystyle{ \left| CG\right|= \sqrt{\left| BC\right|^2+ \left|BG \right|^2 } = \sqrt{a^2+\left( \frac{3}{4} a\right) ^2}= \sqrt{ \frac{25}{16} a^2}= \frac{5}{4}a}\)
\(\displaystyle{ Obw_{AGCD} = 3a + \frac{3}{4}a +\frac{5}{4}a=5a\\
Obw_{AGCD} - Obw_{ABCD}=7 \Rightarrow 5a-4a=7 \Rightarrow a=7}\)
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość trójkąta \(\displaystyle{ AGE}\) jest równa odcinkowi \(\displaystyle{ AD}\)
\(\displaystyle{ P_{AGE} = \frac{1}{2} \left| AG\right|h = \frac{1}{2}\left( a+ \frac{3}{4}a \right)a =\frac{1}{2} \cdot \frac{49}{4} \cdot 7= \frac{343}{8}}\)
Odp.: Długość boku kwadratu wynosi \(\displaystyle{ 7}\), a pole trójkąta \(\displaystyle{ AGE}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{343}{8}}\).