Myślę nad tym już z godzinę ale póki co nie mam pomysłu, prosiłbym o jakieś wskazówki dot. zadania
Dany jest wielokąt wypukły, w którym nie mieści się żaden trójkąt o polu 1. Wykaż, że wielokąt ten można zmieścić w trójkącie o polu 4.
pozdrawiam
Wielokąt wypukły i trójkąt
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wielokąt wypukły i trójkąt
Niech dany wielokąt ma wierzchołki \(\displaystyle{ A_i , i \in \lbrace 1;2;3;...n\rbrace}\), oczywiście mamy tu skończoną ilość wierzchołków, więc istnieje skończenie wiele trójkątów utworzonych przez wierzchołki danego wielokąta, załóżmy, że największe pole ma trójkąt \(\displaystyle{ A_1A_2A_k}\), prowadzimy wówczas prostą równoległą do \(\displaystyle{ A_1A_2}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A_k}\) i zauważamy, że wszystkie wierzchołki \(\displaystyle{ A_i}\) leżą po tej samej stronie danej prostej (gdzie leżą wierzchołki \(\displaystyle{ A_1 , A_2}\)), istotnie, jeżeli istniałby wierzchołek \(\displaystyle{ A_j}\) znajdujący się ponad daną prostą, wówczas \(\displaystyle{ [A_1A_2A_j] > [A_1A_2A_k]}\) co jest sprzeczne z założeniem, podobnie prowadzimy prostą równoległą do \(\displaystyle{ A_1A_k}\) i przechodzącą przez \(\displaystyle{ A_2}\) oraz prostą równoległą do \(\displaystyle{ A_2A_k}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A_1}\), niech te 3 proste przecinają się w punktach \(\displaystyle{ P,Q,R}\) (P punkt przecięcia prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A_k}\) oraz \(\displaystyle{ A_2}\), Q - prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ A_k}\) oraz \(\displaystyle{ A_1}\), R - prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\)) postępując analogicznie dla tych 2 prostych, jak dla początkowej stwierdzamy, że wszystkie punkty leżą wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\), pozostaje teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ \Delta A_1A_2A_k \equiv \Delta A_2A_kP \equiv \Delta A_1A_kQ \equiv \Delta A_1A_2R}\) skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ [PQR] = [A_1A_2A_k]+[A_2A_kP]+[A_1A_kQ]+[A_1A_2R] \le 4\cdot 1 = 4}\) cnd.