punkty nie współliniowe

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

Dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ (n>3)}\) , z których żadne 3 punkty nie są współliniowe.
a) Ile prostych można przeprowadzić przez te punkty?
b) Każdy z punktów wybieramy jako początek półprostej, która przechodzi przez drugi z wybranych punktów. Ile takich półprostych można przeprowadzić? Czy ta liczba może być nieparzysta?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Wskazówka:

a) ile różnowartościowych zbiorów 2-elementowych można utworzyć ze zbioru n-elementowego?

b) ile różnowartościowych ciągów 2-elementowych można utworzyć ze zbioru n-elementowego?
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

tak na chłopski rozum to wiem jaka jest odp
\(\displaystyle{ (n-1)}\) prostych przez każdy punkt
\(\displaystyle{ n}\) punktów
dla 3 punktów 3 proste
dla 4 punktów 6 proste
dla 5 punktów 10 proste
dla 6 punktów 15 proste

jak do tego dojść formalnie? i zapisać formalnie?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Moje wskazówki związane były z kombinatoryką (kolejne podpunkty to kombinacje bez powtórzeń oraz wariacje bez powtórzeń). Czy już się o czymś takim uczyłeś?
Ostatnio zmieniony 11 paź 2010, o 18:47 przez mat_61, łącznie zmieniany 2 razy.
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

To zadanie pochodzi z książki z 1986 roku dla I klasy LO. Tylko z kombinatoryki jest to do zrobienia? da się może inaczej?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Tak jak pisałeś na "chłopski rozum" można potrzebny wzór wytłumaczyć tak jak zacząłeś:

- z każdego z "n" punktów można poprowadzić (n-1) prostych, ale w takiej sytuacji każda prosta jest liczona dwukrotnie (bo np. z punktu A prowadzimy prostą do punktu B, ale z punktu B prowadzimy prostą do punktu A i jest to ta sama prosta), czyli wszystkich prostych jest:

\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)

Natomiast dla półprostych nie dzielimy przez dwa, bo półproste AB i BA to różne półproste, czyli wszystkich półprostych jest:

\(\displaystyle{ n(n-1)}\)
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

zad 2
Dany jest skończony zbiór punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Oblicz liczbę punktów wiedząc, że łączna liczba odcinków łączących te punkty jest: a) 2 b) 3 c) n razy większa od liczby puntów
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Wskazówka:

Skorzystaj z powyżej pokazanego wzoru:

\(\displaystyle{ p= \frac{n(n-1)}{2}}\)

p - liczba odcinków
n - liczba punktów

Np. dla przykładu a) \(\displaystyle{ p=2n}\) Wstaw tą zależność do wzoru i wyznacz n
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

\(\displaystyle{ 2n= \frac{n(n-1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ n=n^2-1}\)
\(\displaystyle{ n^2-n-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 5}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta } = \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ n_1=-2}\) odpada, bo ujemne
\(\displaystyle{ n_2=3}\)
coś chyba nie tak :/
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Coś dziwne masz przekształcenie pomiędzy I i II linijką:

\(\displaystyle{ 2n= \frac{n(n-1)}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4n=n^{2}-n}\)
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

dla c) \(\displaystyle{ p=n^2}\) ??
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

Nie.

Trochę niefortunnie w przykładach a) i b) oznaczyliśmy ilość punktów przez n. W treści zadania nie jest powiedziane, że tych punktów jest "n" natomiast w przykładzie c) literka "n" użyta jest do określenia krotności ilości odcinków.

Dlatego też co najmniej w przykładzie c) (a dla czytelności rozwiązania najlepiej też w pozostałych) musisz ilość punktów oznaczyć inną literką np. "k". Wówczas ilość odcinków będzie wynosić \(\displaystyle{ k \cdot n}\) a równanie będzie wyglądać tak:

\(\displaystyle{ k \cdot n= \frac{k(k-1)}{2}}\)

I z tego równania masz wyznaczyć k.
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

111sadysta pisze:Dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ (n>3)}\) , z których żadne 3 punkty nie są współliniowe.
a) Ile prostych można przeprowadzić przez te punkty?
mat_61 pisze:Wskazówka:
a) ile różnowartościowych zbiorów 2-elementowych można utworzyć ze zbioru n-elementowego?
kombinacje bez powtórzeń
\(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)
111sadysta pisze:b) Każdy z punktów wybieramy jako początek półprostej, która przechodzi przez drugi z wybranych punktów. Ile takich półprostych można przeprowadzić? Czy ta liczba może być nieparzysta?
mat_61 pisze:Wskazówka:
b) ile różnowartościowych ciągów 2-elementowych można utworzyć ze zbioru n-elementowego?
wariacje bez powtórzeń
\(\displaystyle{ 2\cdot {n \choose 2}}\)
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: mat_61 »

111sadysta pisze: wariacje bez powtórzeń
\(\displaystyle{ 2\cdot {n \choose 2}}\)
Nie taki jest wzór na wariacje bez powtórzeń. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-2)!}}\)

Oczywiście dla ciągów 2-elementowych Twój wzór da także poprawny wynik ponieważ \(\displaystyle{ 2!=2}\) i wówczas:

\(\displaystyle{ 2 \cdot {n \choose 2} =2 \cdot \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} =\frac{n!}{(n-2)!}}\)

Ale jakby ten wzór w Twojej wersji miał wyglądać np. dla ciągów 3-elementowych?
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

punkty nie współliniowe

Post autor: 111sadysta »

zad. 3
Dane są cztery punkty:
a)\(\displaystyle{ \left( -3, 0 \right) , \left( 2,3 \right) ,\left( 7,6 \right) ,\left( 12,9 \right)}\)
b) \(\displaystyle{ \left( -4, -1 \right) , \left( -1,1 \right) ,\left( -5,0 \right) ,\left( -6,1 \right)}\)
Odkryj regułę, według której punkty te wybierano i dopisz trzy nastęone
ODPOWIEDZ