równoległobok, suma kątów

[darek20]

ABCD jest równoległobokiem. Rozważmy punkt P taki że \(\displaystyle{ \sphericalangle PBC = \sphericalangle PDC}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \sphericalangle APB+ \sphericalangle CPD=180^o}\)

[pawels]

Niech \(\displaystyle{ T_{\vec{AB}}(P)=P'}\). Wówczas \(\displaystyle{ PP'CD}\) jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ \angle CP'P=\angle CDP=\angle PBC}\), czyli na \(\displaystyle{ PBP'C}\) można opisać okrąg, czyli \(\displaystyle{ \angle DPA+\angle CPB=\pi}\), czyli ta druga suma też jest równa \(\displaystyle{ \pi}\), co kończy dowod.