pole czworokata

[darek20]

Niec ABCD będzie wypukłym czorokątem gdzie \(\displaystyle{ AB=8, ~ BC=12, ~ CD=10, ~ DA=6}\)
Niech M,N będą środkami \(\displaystyle{ AC, BD, ~ MN=3.}\)
Oblicz pole tego czworokata \(\displaystyle{ ABCD.}\)

[timon92]

Niech \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) będą środkami \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\). Łatwo policzyć, że \(\displaystyle{ NS=4,SM=5}\), to znaczy, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta MNS}\) jest prostokątny.

Wprowadźmy układ współrzędnych tak, że \(\displaystyle{ M=(0,0), N=(3,0), S=(3,4)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ MN=3, NP=3, MP=6}\), więc \(\displaystyle{ P=(6,0)}\). Łatwo wyznaczyć współrzędne pozostałych punktów. Obliczenie pola czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) nie stanowi teraz problemu.