Zestaw zadań - okrąg, figury wpisane

[piternet]

1)W trapez równoramienny o krótszej podstawie długości \(\displaystyle{ 1}\) wpisano okrąg. Promień tego okręgu ma długość \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz pole trapezu.
Jak to zrobić? Mam \(\displaystyle{ r=1, a=1, h=2r=2, b=?}\)
Skąd wziąć wymiar \(\displaystyle{ b}\)?
2)W okrąg o promieniu 1 wpisano kwadrat, a następnie na tym okręgu opisano kwadrat. Oblicz stosunek pól kwadratów: wpisanego i opisanego.
Narysowałem sobie wszystko, bok większego kwadratu to \(\displaystyle{ 2 \cdot r=2,}\) jak obliczyć bok mniejszego?
3) Dane są dwa okręgi O1 i O2 o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego okręgu ma długość 10cm. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez okręgi.

Tu nie mam żadnych pomysłów ;/

4) W okręgu obieramy średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Udowodnij, że w trójkącie ACD różnica kątów przy wierzchołkach C i D jest kątem prostym.

Jeden kąt powtarza się tu dwa razy, ale nie wiem co i jak.

Proszę o pomoc - wskazówki lub rozwiązania.
Z góry dzięki
piternet

[florek177]

1. własność czworokąta z wpisanym okręgiem + pitagoras.
2. połowa przekątnej kwadratu jest równa promieniowi.
3. wzór na pole pierścienia; różnicę kwadratów promieni z pitagorasa.
4. zbuduj trapez - ( równoramienny ), kąt ADB jest prosty - trójkąt oparty na średnicy.

[piternet]

Dzięki, 3 zadanka poszły.
Została czwórka, nie wiem jak ją zrobić. narysowałem wszystko, zaznaczyłem kąty itp, ale nie mam pomysłu.

[florek177]

4. w trapezie dorysuj przekątną - porównaj kąty przy górnej podstawie.

[piternet]

suma katow przy gornej podstawie to 90 stopni - nadal nie wiem co dalej ;/

[florek177]

nie 90. kąty przy C i D są jednakowe - w trapezie. kat przy C - rozwarty; kat przy D = 90 + ostry

[piternet]

Ok, dzięki mam to. Tylko wynikł mały problem przy 1, wydawało mi się ok, ale nie jest.
Wiem, że \(\displaystyle{ a+b=2c}\)
Z pitagorasa wyszły mi głupoty, tj. z takiego równania:
\(\displaystyle{ x^{2} + h^{2}= c^{2}}\),
gdzie x to \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\)
h to wysokość
c to długość boku (tego co są ich dwa)

Z tego wyszło mi że \(\displaystyle{ c= \sqrt{ h^{2}+ c^{2} }}\) ;/
Można jeszcze prosić o wskazówki. ;p?

[florek177]

a - dolna podstawa; b - ramię;

\(\displaystyle{ a + 1 = 2b \,\,\, \rightarrow b = \frac{a + 1}{2}}\);

\(\displaystyle{ ({\frac{a - 1}{2}})^{2} + 2^{2} = b^{2}}\)


podstawiasz i masz.