Parowóz - obwody kół; trapez

[piternet]

Witam!
Mam takie zadanie:
Suma obwodów przedniego i tylnego koła parowozu wynosi 9 m. Jedno z nich na drodze 60 m robi tyle obrotów, ile drugie koło na drodze 75 m. Wyznacz obwody tych kół.

r - promień mniejszego koła
R - promień większego koła

Napisałem sobie takie proporcje:
\(\displaystyle{ \frac{60m}{2 \pi r} = \frac{75m}{2 \pi R}}\)
Z tego wyszło mi \(\displaystyle{ r \approx 0,64 \wedge R \approx 0,793}\)
Teraz oczywiście mogę obliczyć obwody tych kół, ale wydaje mi się, że to jest źle, chyba powinno ładnie wychodzić?
Z góry dzięki za pomoc.

Mam jeszcze takie zadanko:
W trapez równoramienny o krótszej podstawie długości \(\displaystyle{ 1}\) wpisano okrąg. Promień tego okręgu ma długość \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz pole trapezu.
Jak to zrobić? Mam \(\displaystyle{ r=1, a=1, h=2r=2, b=?}\)
Skąd wziąć wymiar \(\displaystyle{ b}\)?

[mat_61]

... ale wydaje mi się, że to jest źle, chyba powinno ładnie wychodzić?

Wychodzi ładnie

Domyślam się, że przy liczeniu promieni wstawiłeś przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \Pi}\). Gdybyś tak nie zrobił to otrzymałbyś wyniki (zgodne oczywiście z Twoimi przybliżonymi wartościami):

\(\displaystyle{ r= \frac{2}{\Pi}}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{5}{2\Pi}}\)

Jak teraz obliczysz obwody, to wyjdą "ładne wyniki"

Oczywiście można dojść do rozwiązania w znacznie prostszy sposób. Ponieważ obwody są proporcjonalne do promieni kół, to suma obwodów tych kół dzieli się na obwody każdego z kół w takiej samej proporcji jak drogi pokonane przy takiej samej liczbie obrotów, czyli:

\(\displaystyle{ \frac{O_{1}}{O_{2}} = \frac{75}{60} = \frac{5}{4}}\)