Na początku chcę przeprosić, bo bezczelnie znalazłem to forum w celu uzyskania pomocy w opisanym poniżej problemie. Mam jednak nadzieję, że problem jest na tyle twórczy i ambitny, że podziała na waszą ambicję i pomożecie znaleźć jego rozwiązanie. To zadanie nie jest żadnym zaliczeniem na studiach ani niczym podobnym, to problem który pojawił się w trakcie zabawy z modelowaniem trójwymiarowym.
Celem jest wymodelowanie wyidealizowanego węża hydraulicznego, który wygina się kiedy końce węża zmieniają pozycję wobec siebie. Problem został uproszczony do jednego specyficznego przypadku: dane są dwa ramiona o jednakowej długości, a kąt pomiędzy nimi zmienia się w zakresie 0°-180°. Kiedy ramiona tworzą linię prostą, przymocowany do nich wąż także tworzy linię prostą (końce węża zamocowane są równolegle do ramion) dodatkowo wąż zamocowany jest dokładnie w osi ramion.
Problem: Przyjmijmy, że ramiona to odcinki o długości \(\displaystyle{ R_{\gamma}}\) będącymi ramionami kąta \(\displaystyle{ \angle\gamma}\). Wąż to krzywa \(\displaystyle{ K}\) złożona z trzech łuków których promienie to kolejno \(\displaystyle{ R_{\alpha}, R_{\beta}, R_{\alpha}}\) kątach łuku \(\displaystyle{ \angle\alpha, \angle\beta, \angle\alpha}\). Długość krzywej (łączna długość łuków) wynosi \(\displaystyle{ K=2*R_{\gamma}}\). W sytuacji szczególnej \(\displaystyle{ \angle\gamma=180^{\circ}}\) krzywa \(\displaystyle{ K}\) staje się odcinkiem prostym, zaś dla \(\displaystyle{ \angle\gamma=0^{\circ}}\) krzywa zaczyna i kończy się w tym samym punkcie. Dane są \(\displaystyle{ R_{\gamma}}\), kąty \(\displaystyle{ \angle\gamma, \angle\alpha, \angle\beta}\). Szukane są \(\displaystyle{ R_{\alpha}, R_{\beta}}\).
Poniżej rysunek przedstawiający sytuację szczególną \(\displaystyle{ \angle\gamma=180^{\circ}}\), poniżej sytuację szczególną \(\displaystyle{ \angle\gamma=0^{\circ}}\), a na samym dole rysunek przedstawiający problem ogólny.
Kod: Zaznacz cały
http://lh4.ggpht.com/_pG82RtzfnDY/TKok_ytKpcI/AAAAAAAAAnk/qX8b6AC-W6I/s912/waz3.JPGKod: Zaznacz cały
http://lh4.ggpht.com/_pG82RtzfnDY/TKok_4GqfwI/AAAAAAAAAng/Jxq6ITJT5eU/s512/waz2.JPG[url=http://lh5.ggpht.com/_pG82RtzfnDY/TKok_p5Q2yI/AAAAAAAAAnc/m5BP_b0KXGs/s912/waz.JPG]Rys.3.[/url]
Głowię się nad tym problemem już od dłuższego czasu. Oto moje efekty:
Wzory opisujące zależności kątowe (dlatego te kąty są dane):
\(\displaystyle{ \alpha=60^{\circ}-\frac{\gamma}{3}}\)
\(\displaystyle{ \beta=300^{\circ}-\frac{5\gamma}{3}}\)
Wzory na długość krzywej:
\(\displaystyle{ K=2R_{\gamma}}\)
\(\displaystyle{ K=2\pi R_{\alpha}\frac{\alpha}{180^{\circ}}+\pi R_{\beta}\frac{\beta}{180^{\circ}}}\)
Rozwiązanie dla sytuacji szczególnej \(\displaystyle{ \angle\gamma=0^{\circ}}\):
\(\displaystyle{ R_{\alpha}=R_{\beta}=\frac{6R_{\gamma}}{7\pi}}\)
Potrzebny jest wzór na \(\displaystyle{ R_{\alpha}, R_{\beta}}\) w sytuacji ogólnej, a cały problem sprowadzić można do znalezienia długości odcinka \(\displaystyle{ AB}\) lub inaczej \(\displaystyle{ R_{\alpha}+R_{\beta}=?}\)
Próbowałem znaleźć długość tego odcinka przy użyciu układu równań i poszukiwania punktu przecięcia odpowiedniej prostej z osią symetrii całego układu, ale nie potrafię rozwiązać powstałego układu równań, bądź jest on błędny.