trójkąt, okrąg opisany i ciągi

MaxCorleone · Post autor: **MaxCorleone** » 11 lis 2006, o 08:32

nie jestem pewien czy to w tym dziale ale proszę o pomoc

w trójkącie jeden z kątów ma miarę 120°
długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30
wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia wpisanego w ten trójkąt

baksio · Post autor: **baksio** » 11 lis 2006, o 09:29

boki możemy oznaczyć
\(\displaystyle{ a_{1},a_{1}+r,a_{1}+2r}\)
Na przeciwko największego kąta jest najdłuższy bok więc wykorzystamy twierdzenie cosinusów:
\(\displaystyle{ (a_{1}+2r)^2=a_{1}^2 + (a_{1}+r)^2 -2*a_{1}*(a_{1}+r)*cos120}\)
Wymnażamy. Wiemy że obwód równa się 30 więc dostaniemy taki układ równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}+r=10\\-2a_{1}^2 +a_{1}*r+3r^2=0\end{array}}\)
Po wyliczeniu boków możesz skorzystać ze wzorów:
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4*P_{tr}}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{P_{tr}}{p}}\)

MaxCorleone · Post autor: **MaxCorleone** » 12 lis 2006, o 09:31

\(\displaystyle{ r=\frac{P_{tr}}{p}}\)
co to jest w mianowniku?

baksio · Post autor: **baksio** » 12 lis 2006, o 10:22

\(\displaystyle{ p = \frac{a+b+c}{2}}\)
Czyli to jest połowa obwodu trójkąta.