punkt A leżący na obwodzie tego koła

[malenstwo31]

Po stole toczy sie koło o promieniu \(\displaystyle{ 12\mbox{cm}}\). Jak daleko od powierzchni stołu znajduje sie punkt A leżący na obwodzie tego koła jeżli \(\displaystyle{ SO || AP}\) i kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ 75^{\circ}}\)?

[Pancernik]

\(\displaystyle{ h}\) - odległość odcinka \(\displaystyle{ SO}\) od odcinka \(\displaystyle{ PA}\), a także jedna z wysokości trójkąta \(\displaystyle{ SPO}\)
\(\displaystyle{ P_t}\) - pole trójkąta \(\displaystyle{ SPO}\)

\(\displaystyle{ P_t = \frac{1}{2}ab\sin \alpha\\
P_t = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sin 75^\circ = 72 \sin \left(30^\circ + 45^\circ \right)=72\left( \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ\right) =72\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)=72\left( \frac{ \sqrt{2} }{4} +\frac{ \sqrt{6} }{4}\right) =72 \cdot \frac{ \sqrt{2}+\sqrt{6} }{4}=18\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}\)

\(\displaystyle{ P_t = \frac{1}{2}ah\\
18\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot 12 h\\
h=3\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}\)

\(\displaystyle{ x=y+12\\
y^2 = 12^2 - h^2\\
y^2 = 144 - \left( 3\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\right) ^2 \\
y^2 = 144 - 9\left(\sqrt{2}+\sqrt{6} \right) ^2 \\
y^2 = 144 - 9\left( 2+6+2 \sqrt{12} \right) \\
y^2 = 144 - 72 + 36 \sqrt{3} \\
y^2 = 72 + 36 \sqrt{3} \\
y^2 = 36\left( 2+\sqrt{3}\right) \\
y = 6 \sqrt{2+\sqrt{3}} \\
x=12+6 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\)