Witam wszystkich. Mam problem z takim oto zadankiem.
"Rozważmy dowolny czworokąt ABCD o przekątnych równej długosci. Oznaczmy poprzez X srodek boku AB, a przez Y srodek boku DC. Prosta łącząca te dwa punkty przecina przekątne w dwóch miejscach. Oznaczmy je jako X' - punkt leżący bliżej boku AB i Y'- punkt leżący bliżej boku DC. Wykazać, że DY'=CX' oraz AX'=BY'."
Z góry dziękuję za wszelką pomoc pozdrawiam, tomek
Zrób rysynek i zauważ, że są tam cztery pary trójkątów podobnych w skali 1:2. Z tego wyprowadzisz, że odcinek XY dzieli przekątne na połowy, więc DY' = CX' = AX' = BY'.
sorki, ale chyba nie przeczytałas całej tresci. Nie wiem o jakich trójkątach mówisz... a odcinek XY nie musi dzielić przekątnych na połowy... musiałas rozpatrzyć szczególny przypadek... DOWOLNY czworokąt... także na bank nie będzie: DY'=CX'=AX'=BY'... chyba, że czegos nie łapie, ale myslę, że trochę za szybko do tego podeszłas. takze wydaje mi sie, że temat jest otwarty... jak ktos ma pomysł to będe wdzięczny.
Niech \(\displaystyle{ Z}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AC,BD}\). Niech dwusieczna kąta \(\displaystyle{ CZD}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\).
Z zadania trzeciego z pierwszego etapu LXII Olimpiady Matematycznej wynika, że \(\displaystyle{ XY \perp \text{dwusieczna kąta }DZA \implies XY || ZK}\).
Na mocy twierdzenia Talesa i twierdzenia o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \frac{CX'}{CY} = \frac{CZ}{CY''} = \frac{DZ}{DY''} = \frac{DY'}{DY}}\)
Jednakże \(\displaystyle{ CY=DY}\), więc musi być \(\displaystyle{ DY'=CX'}\). Drugiej równości dowodzi się analogicznie
no dzieki, to by sie zgadzalo tylko, że zapomniałem dodać, że muszę to zadanie zrobić na kółko i raczej nie napiszę, że z zadania trzeciego jakiejs olimpiady cos wynika Faktycznie jak przyjmiemy tak jak jest w tej olimpiadzie to będzie się zgadzało... ale nie ma jakiegos sposobu, który można by w całosci wyjasnic tak, żebym mógł to załapać???
To by się równało wyjaśnieniu zadania z trwającego konkursu, czego się nie robi. Póki nie minie termin oddawania zadań I serii OM raczej nikt Ci nie pomoże.
pozdrawiam, tomek
