Kąt między cięciwą o średnicą - przystawanie trójkątów

[emator2]

Dany jest okrąg o środku O i promieniu R. Poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD tego okręgu i cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie N. Wiedząc,że w czworokąt OBMN można wpisać okrąg, wyznacz miarę kąta między cięciwą AM i średnicą AB.

Wiem, że szukana miara kąta wynosi 30 stopni, jednak mam problem z pewnym fragmentem zadania:
Jak udowodnić, że trójkąty NMB i NOM sa przystające?

Proszę o rychłą pomoc i z góry dziękuję.

[irena_1]

W czworokąt OBMN można wpisać okrąg, więc:
\(\displaystyle{ |OB|+|MN|=|BM|+|ON|}\) (*)
W trójkątach OBN i BNM:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BON|=90^0\\| \sphericalangle BMN|=90^0}\)
Kąt BMN jest wpisany, oparty na półokręgu.
\(\displaystyle{ ||)B|^2+|ON|^2=|BM|^2+|MN|^2\\|OB|^2-|MN|^2=|BM|^2-|ON|^2}\)
Podstawiając (*):
\(\displaystyle{ |OB|-|MN|=|BM|-|ON|}\)
Dodać stronami z (*):
\(\displaystyle{ 2|OB|=2|BM|\\|OB|=|BM|}\)

Czyli trójkąty OBN i BMN są przystające. Przystający do nich jest też trójkąt OAN- cecha (bkb) z trójkątem OBN:
\(\displaystyle{ |OA|=|OB|}\), \(\displaystyle{ | \sphericalangle AON|=90^0}\) i wspólny bok ON.
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle OBN|=| \sphericalangle NBM|=| \sphericalangle OAN|=\alpha\\| \sphericalangle ABM|+| \sphericalangle BAM|=90^0\\| \sphericalangle OBM|=2\alpha\\2\alpha+\alpha=90^0\\3\alpha=90^0\\\alpha=30^0}\)

\(\displaystyle{ | \sphericalangle ONB|+| \sphericalangle BNM|=60^0+60^0=120^0\\| \sphericalangle DNM|=180^0-120^0=60^0}\)

Miara kąta między cięciwą a średnicą wynosi \(\displaystyle{ 60^0}\)