Mam problem z jednym zadaniem. Bardzo proszę o pomoc !
Do dwóch okręgów,których promienie mają dł.7 i 1 zaś środki są odległe o 10 , poprowadzono wspólne styczne. Wyznacz dł. odcinków tych stycznych wyznaczonych przez punkty styczności.
Okręgi rozłączne
Okręgi rozłączne
Stycznych mają cztery. Tyle problem mam w tym ,iż nie widzę tam ani pitagorasa ani tales. Myślę, nad tym zadaniem już jakieś 1,5 h i wychodzą mi same głupoty. Próbowałam coś z trapezem.. no ale kiszka. Mógłbyś opisać. Bedę bardzo wdzięczna.
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Okręgi rozłączne
Spróbuję.
Oznaczmy środki okręgów przez \(\displaystyle{ O,S}\) (niech S będzie środkiem tego mniejszego). Rozważmy najpierw jedną ze wspólnych stycznych tych okręgów przecinających prostą \(\displaystyle{ OS}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) leżącym na zewnątrz odcinka \(\displaystyle{ OS}\). Oznaczmy punkty styczności przez \(\displaystyle{ B,C}\), przy czym \(\displaystyle{ \left| OB\right| =7 \ \ \left| SC\right| =1}\).
Zauważ teraz dwa podobne (to oczywiste, że są podobne, ale można tu użyć twierdzenia Talesa aby to stwierdzić ) trójkąty prostokątne: \(\displaystyle{ AOB}\) oraz \(\displaystyle{ ASC}\). Jeden jest 7 razy większy od drugiego (to wiadomo stąd, że \(\displaystyle{ \frac{\left| OB\right| }{\left| SC\right| }=7}\)).
Dalej, mamy daną odległość \(\displaystyle{ \left| OS\right| =10}\). Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \left| OA\right| =\frac{7}{6}\left| OS\right|=\frac{35}{3}}\) (korzystając z tego, że te trójkąty tam są podobne). Teraz, z twierdzenia Pitagorasa wychodzi nam, że \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \frac{6}{7}\cdot \left| BA\right| =\frac{6}{7}\cdot\sqrt{\left( \frac{35}{3}\right) ^2-7^2}= \frac{6}{7}\cdot \sqrt{\frac{14\cdot 56}{9}}=\frac{6}{7}\cdot \frac{28}{3}=8}\).
Zrozumiałaś? Jeśli coś jeszcze jest niejasne, pytaj. Drugi przypadek (w którym punkt A leży wewnątrz odcinka OS) można zrobić w ten sam sposób, tylko trójkąty wyjdą inaczej.
Oznaczmy środki okręgów przez \(\displaystyle{ O,S}\) (niech S będzie środkiem tego mniejszego). Rozważmy najpierw jedną ze wspólnych stycznych tych okręgów przecinających prostą \(\displaystyle{ OS}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) leżącym na zewnątrz odcinka \(\displaystyle{ OS}\). Oznaczmy punkty styczności przez \(\displaystyle{ B,C}\), przy czym \(\displaystyle{ \left| OB\right| =7 \ \ \left| SC\right| =1}\).
Zauważ teraz dwa podobne (to oczywiste, że są podobne, ale można tu użyć twierdzenia Talesa aby to stwierdzić ) trójkąty prostokątne: \(\displaystyle{ AOB}\) oraz \(\displaystyle{ ASC}\). Jeden jest 7 razy większy od drugiego (to wiadomo stąd, że \(\displaystyle{ \frac{\left| OB\right| }{\left| SC\right| }=7}\)).
Dalej, mamy daną odległość \(\displaystyle{ \left| OS\right| =10}\). Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \left| OA\right| =\frac{7}{6}\left| OS\right|=\frac{35}{3}}\) (korzystając z tego, że te trójkąty tam są podobne). Teraz, z twierdzenia Pitagorasa wychodzi nam, że \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \frac{6}{7}\cdot \left| BA\right| =\frac{6}{7}\cdot\sqrt{\left( \frac{35}{3}\right) ^2-7^2}= \frac{6}{7}\cdot \sqrt{\frac{14\cdot 56}{9}}=\frac{6}{7}\cdot \frac{28}{3}=8}\).
Zrozumiałaś? Jeśli coś jeszcze jest niejasne, pytaj. Drugi przypadek (w którym punkt A leży wewnątrz odcinka OS) można zrobić w ten sam sposób, tylko trójkąty wyjdą inaczej.
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2010, o 22:30 przez Mistrz, łącznie zmieniany 1 raz.
Okręgi rozłączne
Do tego momentu rozumiem, tylko teraz jaką dłgość ma odcinek OA ?
Patrząc na prostą OS to wygląda to po narysowaniu tak :
7,2 i i w którymś miejscu długości 2 styczne się przecinają.
Więc ile wynosi odcinek Od O do punktu przecięcia ?-- 28 wrz 2010, o 21:31 --Moze inaczej : nie rozumiem skąd się wzieło :
OA=7/6 i OS 35/3
Patrząc na prostą OS to wygląda to po narysowaniu tak :
7,2 i i w którymś miejscu długości 2 styczne się przecinają.
Więc ile wynosi odcinek Od O do punktu przecięcia ?-- 28 wrz 2010, o 21:31 --Moze inaczej : nie rozumiem skąd się wzieło :
OA=7/6 i OS 35/3
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Okręgi rozłączne
No masz tam wcześniej, \(\displaystyle{ OA=\frac{35}{3}}\)
Aha... no więc tam miało być mnożenie.
\(\displaystyle{ |OS|=10 \\ |OA|=\frac{7}{6}\cdot |OS|=\frac{7}{6}\cdot 10 = \frac{35}{3}}\)
Aha... no więc tam miało być mnożenie.
\(\displaystyle{ |OS|=10 \\ |OA|=\frac{7}{6}\cdot |OS|=\frac{7}{6}\cdot 10 = \frac{35}{3}}\)
Okręgi rozłączne
Wiem,że zapewne teraz się denerwujesz.. tylko skąd się wzieło 7/ 6 ?
Już nie pytam o więcej .
Już nie pytam o więcej .
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Okręgi rozłączne
No bo zobacz... |OA| to jest takie jakby 7x, natomiast |SA| to takie x (gdzie x jest stosunkiem długości przeciwprostokątnej do promienia okręgu, tzn. \(\displaystyle{ x=\frac{OA}{OB}=\frac{SA}{SC}}\)). Wówczas długość nasza \(\displaystyle{ |OS|}\) jest różnicą tych dwóch! Czyli \(\displaystyle{ |OS|=7x-x=6x}\). Teraz widzisz, że \(\displaystyle{ \frac{OA}{OS}=\frac{7}{6}}\)
A ja idę już spać.
A ja idę już spać.