1. Oblicz stosunek sumy długości promieni okręgu opisanego i okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny do sumy długości przyprostokątnych tego trójkąta.
2. Stosunek długości przekątnych rombu jest równy 2 : 3. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten romb do pola rombu.
Okręgi: opisany, wpisany w trójkąt
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Okręgi: opisany, wpisany w trójkąt
1.
Oznaczmy przyprostokątne jako \(\displaystyle{ a,b}\). Wówczas przeciwprostokątna (będąca, jak zapewne wiesz, średnicą okręgu opisanego) ma długość \(\displaystyle{ 2R=\sqrt{a^2+b^2}}\).
Ze wzorów na pole trójkąta możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{2}=\frac{1}{2}r(a+b+\sqrt{a^2+b^2}) \\ r=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}}\).
Zatem szukany stosunek to:
\(\displaystyle{ \frac{R+r}{a+b}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}+\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}}{a+b}= \frac{\sqrt{a^2+b^2}(a+b+\sqrt{a^2+b^2})+2ab}{2(a+b+\sqrt{a^2+b^2})(a+b)}=\\ =\frac{a^2+b^2+(a+b)\sqrt{a^2+b^2}+2ab}{2(a^2+b^2+2ab+(a+b)\sqrt{a^2+b^2})}=\frac{1}{2}}\)
Oznaczmy przyprostokątne jako \(\displaystyle{ a,b}\). Wówczas przeciwprostokątna (będąca, jak zapewne wiesz, średnicą okręgu opisanego) ma długość \(\displaystyle{ 2R=\sqrt{a^2+b^2}}\).
Ze wzorów na pole trójkąta możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{2}=\frac{1}{2}r(a+b+\sqrt{a^2+b^2}) \\ r=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}}\).
Zatem szukany stosunek to:
\(\displaystyle{ \frac{R+r}{a+b}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}+\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}}{a+b}= \frac{\sqrt{a^2+b^2}(a+b+\sqrt{a^2+b^2})+2ab}{2(a+b+\sqrt{a^2+b^2})(a+b)}=\\ =\frac{a^2+b^2+(a+b)\sqrt{a^2+b^2}+2ab}{2(a^2+b^2+2ab+(a+b)\sqrt{a^2+b^2})}=\frac{1}{2}}\)
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Okręgi: opisany, wpisany w trójkąt
1.
\(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{a} + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ \frac{R+r}{a+b} = \frac{\frac{1}{2}c + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c}{a+b} = \frac{ \frac{1}{2}(a+b) }{a+b} = \frac{1}{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ \frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d_{1} = \frac{2}{3}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}h}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{\left( \frac{1}{2}d_{1} \right)^2 + \left( \frac{1}{2}d_{1} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{1}{9}d_{2}^2 + \frac{1}{4}d_{2}^2 } = \sqrt{ \frac{4}{36}d_{2}^2 + \frac{9}{36}d_{2}^2 } = \sqrt{ \frac{13}{36}d_{2}^2 } = \frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{\frac{1}{2}d_{1} \cdot \frac{1}{2}d_{2}}{a} = \frac{\frac{1}{3}d_{2} \cdot \frac{1}{2}d_{2}}{\frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}} = \frac{\frac{1}{6}d_{2}^2}{\frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}d_{2} = \frac{\sqrt{13}}{13}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{k}}{P_{r}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}d_{1}d_{2}} = \frac{\pi \cdot \left( \frac{\sqrt{13}}{13}d_{2}\right)^2 }{\frac{1}{3}d_{2}^2} = \frac{\frac{1}{13}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{13}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{a} + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ \frac{R+r}{a+b} = \frac{\frac{1}{2}c + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c}{a+b} = \frac{ \frac{1}{2}(a+b) }{a+b} = \frac{1}{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ \frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d_{1} = \frac{2}{3}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}h}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{\left( \frac{1}{2}d_{1} \right)^2 + \left( \frac{1}{2}d_{1} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{1}{9}d_{2}^2 + \frac{1}{4}d_{2}^2 } = \sqrt{ \frac{4}{36}d_{2}^2 + \frac{9}{36}d_{2}^2 } = \sqrt{ \frac{13}{36}d_{2}^2 } = \frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{\frac{1}{2}d_{1} \cdot \frac{1}{2}d_{2}}{a} = \frac{\frac{1}{3}d_{2} \cdot \frac{1}{2}d_{2}}{\frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}} = \frac{\frac{1}{6}d_{2}^2}{\frac{\sqrt{13}}{6}d_{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}d_{2} = \frac{\sqrt{13}}{13}d_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{k}}{P_{r}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}d_{1}d_{2}} = \frac{\pi \cdot \left( \frac{\sqrt{13}}{13}d_{2}\right)^2 }{\frac{1}{3}d_{2}^2} = \frac{\frac{1}{13}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{13}}\)