kwadraty na bokach równoległoboku

[kamila_2042]

Na zewnątrz równoległoboku ABCD, na jego bokach zbudowano kwadraty. Udowodnij, że środki symetrii tych kwadratów, także tworzą kwadrat.

Proszę o pomoc.
Z góry dziękuje.

[nowheredense_man]

Syntetycznie nie wiem jak to zrobić, analitycznie dość prosto, ale żmudnie (mam nadzieję, że ktoś pokaże inne rozwiązanie). A więc bez straty ogólności mogę sobie założyć, że jeden z boków ma długość jeden (jeśli tak nie jest to da się przeskalować do tego przypadku), ponadto umieśćmy wierzchołki równoległoboku w układzie współrzędnych tak, żeby \(\displaystyle{ A(0,0)}\), \(\displaystyle{ B(1,0)}\), \(\displaystyle{ C(a+1,b)}\), \(\displaystyle{ D(a,b)}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) stałe dodatnie. Wtedy łatwo pokazać, że środki symetrii kwadratów będą w punktach: \(\displaystyle{ S_1(1/2,-1/2)}\), \(\displaystyle{ S_2(1/2(a+b)+1,1/2(b-a))}\), \(\displaystyle{ S_3(a+1/2,b+1/2)}\) i wreszcie \(\displaystyle{ S_4(1/2(a-b),1/2(a+b))}\). Teraz można policzyć współczynniki kierunkowe odpowiednich prostych i pokazać, że iloczyny odpowiednich ich par będą wynosiły \(\displaystyle{ -1}\) (np. współczynnik prostej \(\displaystyle{ S_1S_2}\) pomnożony przez współczynnik prostej \(\displaystyle{ S_2S_3}\) powinien dać \(\displaystyle{ -1}\)). To sprawdziłem i tak faktycznie jest (tzn. sprawdziłem dla jednej pary współczynników kierunkowych i pomyślałem, że dla pozostałych jest tak samo, mam nadzieję, że się nie mylę(?)), jednak to jeszcze nie dowodzi, że dany czworokąt jest kwadratem. Trzeba jeszcze pokazać, że boki mają taką samą długość (tego już mi się nie chciało liczyć).

[timon92]

Pokaż że zaznaczone trójkąty są przystające (bkb) - stąd dostaniesz równość odpowiednich odcinków. Następnie policz kąty i okaże się, że tam jest kąt prosty. Będzie to oznaczać, że to jest kwadrat