Oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie.

zosia232 · Post autor: **zosia232** » 27 wrz 2010, o 09:57

Pewien czworokąt ma przekątne równe 1. Przecinają się one pod kątem prostym, a punkt przecięcia dzieli je na odcinki z których dwa są równe a. Oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie.

basketmat · Post autor: **basketmat** » 27 wrz 2010, o 10:20

Skoro przecinają się pod kątem prostym na dwie równe części to jest to zapewne kwadrat, który ma taką właściwość, że promień jest połową przekątnej.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 27 wrz 2010, o 10:30

Wszystko zależy od interpretacji słów: Przecinają się one pod kątem prostym, a punkt przecięcia dzieli je na odcinki z których dwa są równe a.
Jeśli są to dwa należące do tej samej przekątnej, wówczas to jest deltoid.
Jeśli są to dwa należące do różnych przekątnych, wówczas to jest czworokąt, w którym przekątne podzieliły jego obszar na cztery trójkąty prostokątne z których jeden jest równoramienny (czyli jeden z boków czworokąta wynosi \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) )

basketmat · Post autor: **basketmat** » 27 wrz 2010, o 10:33

Też tak myślę, ale to chyba nie ma większego znaczenia : ). Bądź co bądź promień zawsze będzie równy tyle samo.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 27 wrz 2010, o 10:46

Dla deltoidu przy równych długościach przekątnych jest to na pewno kwadrat więc promień okręgu opisanego wynosi \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}}\)
W drugim przypadku wspomnianym w mym wcześniejszym poście jesli jest jedna para równych fragmentów przekątnych to jest i druga taka para o długości "1-a"
Na mój gust drugi przypadek to trapez równoramienny.

basketmat · Post autor: **basketmat** » 27 wrz 2010, o 10:55

Chyba obaj musimy się zgodzić, że zadanie jest niejednoznacznie sformułowane, bo te dwa równe odcinki a mogą być zarówno połowami przekątnej lub prostopadłymi odcinkami.W drugim przypadku rzeczywiście jest to trapez równoramienny.

zosia232 · Post autor: **zosia232** » 27 wrz 2010, o 20:11

Treść zadania została w całości przepisana. Owe czworokąty traktowałam jako trapez, kwadrat, deltoid. Wyliczenie promienia dla dwóch pierwszych czworokątów nie pokrywa się z odpowiedzią. Może jest inny sposób, którego nie mogę dostrzec?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 27 wrz 2010, o 21:53

Dla trapezu długość promienia mi wyszła \(\displaystyle{ r=\sqrt{a^2 - a + \frac{1}{2} }}\)

zosia232 · Post autor: **zosia232** » 28 wrz 2010, o 18:32

Jak doszedłeś do tego wyniku? Proszę o podanie sposobu rozwiązania. Dziękuję

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 29 wrz 2010, o 22:12

1. Krótsza podstawa trapezu ma miarę \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\)
2. Ramię trapezu znajdziesz z tw Pitagorasa gdzie przyprostokątne to a i (1-a)
3. W trapezie równoramiennym promień okręgu opisanego jest tym samym co promień okręgu opisanego na trójkącie którego boki to: przekątna, krótsza podstawa i ramię
4. Wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ P= \frac{abc}{4R}}\) i przekształcasz do R
5. Pole trójkąta z punktu 3 to suma dwóch pól tych mniejszych trójkątów, które łatwo obliczyć (jeden to połowa kwadratu a drugi to trójkącik prostokątny)
6. Zdobyte informacje łączysz ze sobą i przekształcasz, wyłączasz, skracasz i wychodzi