środkowe i obwód trójkąta
-
oslidz
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 5 gru 2007, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lidzbark Warm.
- Podziękował: 1 raz
środkowe i obwód trójkąta
Wykaż, że suma długości srodkowych dowolnego trójkąta jest mniejsza od jego obwodu i większa od połowy obwodu tego trójkąta.
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
środkowe i obwód trójkąta
Zakładam, że wiesz, oslidz, o czym nam mówi nierówność trójkąta.
Zajmij się najpierw ograniczeniem sumy długości środkowych od dołu (bo tu dowód jest prostszy): wyobraź sobie trójkąt (połówkę dużego trójkąta) tworzony przez końce środkowej i jeden z pozostałych wierzchołków trójkąta. Zastosuj do tego trójkąta nierówność trójkąta (tak, aby długość środkowej znalazła się po tej większej stronie). Ogarniasz? Rozwiń ten pomysł, z będziesz miał rozwiązanie.
Z ograniczeniem sumy długości środkowych od góry jest podobnie: musisz wymyślić jakiś fajny trójkąt (tu już może nie podpowiem, jaki) i zastosować do niego nierówność trójkąta.
Pytanie na boku na temat uogólnienia problemu: czy nie jest prawdą, że jeżeli w trójkącie ABC obierzemy wewnątrz boków BC, AC i AB punkty, odpowiednio, A', B' i C' tak, aby odcinki AA', BB' i CC' przecięły się w jednym punkcie, to suma długości tych odcinków będzie mniejsza od obwodu trójkąta ABC, a większa od połowy tego obwodu?
Bo mi się wydaje, że tak jest. Ba, żeby suma długości tych odcinków była większa od połowy obwodu nie muszą nawet się przecinać w jednym punkcie.
Zajmij się najpierw ograniczeniem sumy długości środkowych od dołu (bo tu dowód jest prostszy): wyobraź sobie trójkąt (połówkę dużego trójkąta) tworzony przez końce środkowej i jeden z pozostałych wierzchołków trójkąta. Zastosuj do tego trójkąta nierówność trójkąta (tak, aby długość środkowej znalazła się po tej większej stronie). Ogarniasz? Rozwiń ten pomysł, z będziesz miał rozwiązanie.
Z ograniczeniem sumy długości środkowych od góry jest podobnie: musisz wymyślić jakiś fajny trójkąt (tu już może nie podpowiem, jaki) i zastosować do niego nierówność trójkąta.
Pytanie na boku na temat uogólnienia problemu: czy nie jest prawdą, że jeżeli w trójkącie ABC obierzemy wewnątrz boków BC, AC i AB punkty, odpowiednio, A', B' i C' tak, aby odcinki AA', BB' i CC' przecięły się w jednym punkcie, to suma długości tych odcinków będzie mniejsza od obwodu trójkąta ABC, a większa od połowy tego obwodu?
Bo mi się wydaje, że tak jest. Ba, żeby suma długości tych odcinków była większa od połowy obwodu nie muszą nawet się przecinać w jednym punkcie.