okręgi styczne zewn. wewn.

[mikus92]

witam , mam 2 zadanka i zupełnie nie wiem jak je rozwiązać , a mianowicie:

1. Dwa okręgi styczne zewnętrznie są jednocześnie styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r=7 cm}\). Środki tych okręgów wyznaczają trójkąt \(\displaystyle{ O_1 , \ O_2 , \ O_3}\). Oblicz obwód tego trójkąta.

i zad 2.Odległość środków dwóch okręgów wynosi \(\displaystyle{ 4r}\). Promień jednego z nich jest równy \(\displaystyle{ r}\).
Jaka powinna być długość promienia drugiego okręgu , aby okręgi te:
a) były styczne zewnętrznie
b) przecinały się w dwóch punktach?

z góry dzięki za pomoc.

[Oregon]

1. Rysunek powinien Ci pomóc



Jaką długość mają odcinki: \(\displaystyle{ \left| O _{1}O_{2}\right|}\), \(\displaystyle{ \left| O_{1}O_{3} \right|}\), \(\displaystyle{ \left| O_{2}O_{3}\right|}\)?

[borsux]

Co do zadania 2:
Niech \(\displaystyle{ r _{1}}\) oznacza promień pierwszego okręgu, \(\displaystyle{ r_{2}}\) drugiego, a \(\displaystyle{ R}\) odległość między środkami tych okręgów. \(\displaystyle{ r_{1} \ge r_{2}}\)
Wtedy, aby dwa okręgi:
a) były do siebie styczne zewnętrznie, to \(\displaystyle{ R=r_{1}+r_{2}}\)
b) przecinały się w dwóch punktach, to \(\displaystyle{ r_{1}-r_{2}<R<r_{1}+r_{2}}\)
c) były do siebie styczne wewnętrznie, to \(\displaystyle{ R=r_{1}-r_{2}}\)
W pozostałch przypadkach okręgi nie stykają się w żaden sposób


@Oregon: w jakim programie zrobiłeś rysunek?

[mikus92]

no ok , ale jak to rozwiązać? bo próbowałem i nic z tego ... a rysunek mam w podr.
ma ktoś jakiś pomysł na rozwiązanie?

[borsux]

\(\displaystyle{ |O_{1}O_{3}|=7-y}\)
\(\displaystyle{ |O_{2}O_{3}|=x+y}\)
\(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=7-x}\)
Czyli łączny obwód da nam \(\displaystyle{ 14}\). Widzisz to czy mam to wytłumaczyć?

[mikus92]

wytłumaczysz mi to ? z góry dzięki

[borsux]

Popatrz sobie na rysunek Oregon'a:
Wiemy, że promień dużego okręgu ma 7cm.
Czyli miejsca, w których ten duży okrąg styka się z tymi mniejszymi będą oddalone od środka \(\displaystyle{ O_{1}}\) dużego okręgu o 7cm. Czyli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}| + x=7cm}\). Analogicznie z drugą długością zaznaczoną przez Oregona: \(\displaystyle{ |O_{1}O_{3}| + y=7cm}\). Wiemy też, że dwa mniejsze okręgi są ze sobą styczne, czyli z tego co napisałem w pierwszym swoim poście - odległość ich środków będzie równa sumie ich promieni, czyli w tym wypadku: \(\displaystyle{ |O_{2}O_{3}|=x+y}\). Po przerzuceniu x i y w dwóch pierwszych równaniach na drugą stronę, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ |O_{1}O_{3}|=7-y}\)
\(\displaystyle{ |O_{2}O_{3}|=x+y}\)
\(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=7-x}\)

To wszystko generalnie wynika z zależności, które napisałem w pierwszym swoim poście