czworokąt wpisany w okrąg

[miodek1]

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, przy czym styczne do tego okręgu w punktach B i D przecinają się na prostej AC. Wykaż, że: \(\displaystyle{ AB \cdot CD=AD \cdot BD}\)

[timon92]

Powinno być \(\displaystyle{ AB \cdot CD=AD \cdot BC}\)

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem wspólnym tych stycznych i prostej \(\displaystyle{ AC}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ PAB,PBC}\) i \(\displaystyle{ PDA,PCD}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{BC}{AB} = \frac{PB}{PA} = \frac{PD}{PA} = \frac{DC}{AD}}\), skąd wynika postulowana równość