Trapez,Romb i trójkąt wpisany w okrąg

[pawel1961]

1.) W trapez wpisano okrąg.Punkt styczności okręgu z dłuższą podstawą trapezu dzieli tę podstawę na odcinki dł. 2,5dm i 4dm.Wysokośc trapezu ma długośc 4dm.Oblicz obwód trapezu.

2.) W romb o boku długości 10cm i wysokości 8cm wpisano okrąg \(\displaystyle{ o_1}\).
A.) Oblicz,w jakiej odległości od środka boku znajduje się punkt styczności okręgu z tym bokiem.
B.) Uzasadnij,że przez środki boków tego rombu można poprowadzić okrąg \(\displaystyle{ o_2}\) i wyznacz długość promienia tego okręgu.
C.) Korzystając z wyliczonych wielkości narysuj ten romb wraz z okręgami \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) w skali \(\displaystyle{ 1:2}\)

3.) W okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD.Z punktu A prowadzimy cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie N.Wyznacz miarę kąta,jaki ta cięciwa tworzy ze średnicą AB,jeżeli wiadomo,że w czworokąt OBMN można wpisać okrąg

4.) Trójkąt ABC wpisano w okrąg.Poprowadzono wysokość z wierzchołka C i przedłużono ją do przecięcia z okręgiem w punkcie D.Wykaż,że \(\displaystyle{ \sphericalangle ADB= \sphericalangle ASB}\) gdzie S jest punktem przecięcia wysokości trójkąta ABC


Proszę o pomoc i z góry dziękuje

[piasek101]

1. Środek okręgu leży w przecięciu dwusiecznych kątów trapezu.
Trójkąty wyznaczone przez środek i ramię trapezu są prostokątne - znasz ich wysokości poprowadzone do przeciwprostokątnych - Pitagoras i podobieństwo.

[Oregon]

2.
A) Rysunek:
Oznaczmy \(\displaystyle{ AE=x}\) i \(\displaystyle{ EB=y}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ SE=4}\), bo to połowa wysokości rombu.
Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ ABS}\) jest prostokątny, to \(\displaystyle{ SE ^{2}= xy}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ x+y=10}\).

Dlatego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=10 \\ xy=16 \end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \\ y = 8 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x=8\\ y=2 \end{cases}}\)

Szukana odległość wynosi \(\displaystyle{ \left| 5-y\right|}\).


B) Rysunek:

Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe i wynoszą \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\)

Czyli czworokąt \(\displaystyle{ EFGH}\) musi spełniać powyższy warunek.
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 180 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AEF = \sphericalangle AFE = \frac{180 ^{o}- \alpha }{2} = \frac{ \beta }{2}}\)
Analogicznie:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BFG = \sphericalangle FGB = \frac{180 ^{o}- \beta }{2} = \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CGH = \frac{ \beta }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DEH = \frac{\alpha}{2}}\).
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \gamma = 180^{o}}\)
\(\displaystyle{ \gamma = 90^{o}}\)
Czyli każdy z kątów czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\) wynosi \(\displaystyle{ 90^{o}}\), a więc spełnia on nasz warunek.

Długość promienia równa się długości połowy boku rombu i wynosi \(\displaystyle{ r=5}\).