Pole trójkąta zawartego w kwadracie

[chlorofil]

Trójkąt zawiera się w kwadracie o boku 1. Wykazać, że pole tego trójkąta jest mniejsze od sinusa dowolnego kąta tego trójkąta.

Wystarczy jakaś podpowiedź.

[irena_1]

Najdłuższym bokiem takiego trójkata może być przekątna kwadratu. Ma ona długość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Drugi bok tego trójkąta musi być wtedy krótszy od przekątnej, czyli:
\(\displaystyle{ a=\sqrt{2}\\b<\sqrt{2}\\\frac{1}{2}ab<\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\\\frac{1}{2}ab<1}\)

Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\ sin\alpha<sin\alpha}\)