Dwa stykające się prostokąty i brak jednego wymiaru

[Konikov]

Powiedzmy, że tam są 2 prostokąty ;] Mamy \(\displaystyle{ a_1}\), \(\displaystyle{ b_1}\), \(\displaystyle{ a_2}\), jakie jest \(\displaystyle{ b_2}\)?

Żadna oś mniejszego prostokąta nie jest równoległa żadnej z przekątnych większego.

[Sliwa199]

Nie wiem czy dobrze myślę ale czy nie można wyliczyć tego z zależności trygonometrycznych a potem zastosować pitagorasa ? Jeśli znałbyś wartość a2 to obliczył byś b2, ale myślę, że to by było zbyt proste no i jak mamy a1 i b1 to chyba do czegoś jednak jest potrzebne.

[Konikov]

Mamy wszystko oprócz \(\displaystyle{ b_2}\). Chętnie posłucham, jakich zależności trygonometrycznych tu można użyć ;]

[Sliwa199]

Wiesz nie jestem z tego przedmiotu dobry ale sądzę, że można zrobić to tak.
Jak masz ten mały prostokąt w środku to narysować przekątną wtedy uzyskamy dwa trójkąty prostokątne i można łatwo obliczyć \(\displaystyle{ b_{2}}\) jeśli znamy wartość liczbową \(\displaystyle{ a_{2}}\).

Wzorem wyglądało by to tak: \(\displaystyle{ \tg 60^\circ = \frac{a2}{b2}}\)

No i dalej licząc to wyjdzie nam, że \(\displaystyle{ b2= \frac{a2}{ \sqrt{3} }}\), ponieważ \(\displaystyle{ \tg 60^\circ = \sqrt{3}}\)

Dodatkowo przeciwprostokątną tego trójkąta można wyliczyć z Pitagorasa ale to po za tym bo w poprzednim poście mówiłem o tym wzorze.

Tak to wygląda według mnie ale po coś jednak są podane tamte długości więc pewnie można lub trzeba rozwiązać to inaczej i wyjdzie inny wynik.

[Afish]

A skąd wiesz, że ten kąt w prostokącie ma miarę \(\displaystyle{ \tg 60^\cir}\) ?

[Konikov]

Dokładnie o to samo miałem zapytać, tylko musiałem odejść od kompa ;] Tym bardziej, że większy prostokąt może być kwadratem, wtedy jest \(\displaystyle{ 45^o}\).

Także boki o długości \(\displaystyle{ b_2}\) nie są (oprócz kilku przypadków) równoległe przekątnej większego.

Jeśli ułatwi to komuś rachunki, to może założyć, że znamy \(\displaystyle{ b_2}\), a nie znamy \(\displaystyle{ a_2}\). Generalnie mam stwierdzić, czy jeden prostokąt zmieści się w drugim (wszystkie dane podane), więc chcę przypadek graniczny znać ;]

[borsux]

wprowadziłem \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\). W sumie teraz widzę, że \(\displaystyle{ x}\) nie jest potrzebne, więc pomińmy je.
I mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y ^{2} + z ^{2} = a_{2}^{2} \\ (b_{1} - z) ^{2} + (a_{1} - y) ^{2} = b_{2}^{2} \end{cases}}\)
No i jak to wyliczysz, to powinno ci coś wyjść

[Konikov]

Od tego zacząłem, ale wychodzi gigantyczny pierwiastek czwartego stopnia i jak tu szukać miejsc zerowych? 0.o ;D Dlatego może "zamiana niewiadomej" być może uprości rachunki, jeszcze nie kombinowałem przy zmianie. Może ktoś ma lepszy pomysł? ;]

Aha, można także skorzystać z podobieństwa trójkątów wyznaczanych przez boki prostokątów (nie przekątnych).

[Sliwa199]

Ale jeśli to wygląda dokładnie jak na rysunku i narysujemy przekątną tego małego prostokąta to wiadomo, że będzie tam kąt prosty, czyli \(\displaystyle{ 90^\circ}\), więc wtedy tamte kąty to \(\displaystyle{ 60^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ 30^\circ}\)

[Konikov]

Zdaje się, że przekątna małego prostokąta nie jest pod kątem prostym do niczego innego na tym rysunku ;] W szczególności, że rysunek jest schematem strzelonym odręcznie, na szybko w paincie ;] Tak samo nie znamy innych kątów, gdyż stosunek boków zmienia się zależnie od podstawionych danych.

Trzeba kombinować, a nuż coś się uda ;]

[borsux]

Jak skończę ogarniać zadanie z OM'a to pomyśle nad tym. Mamy dane tylko te boki, tak?

[Konikov]

Mamy dane \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ b_1}\), a także dowolne z \(\displaystyle{ a_2}\) lub \(\displaystyle{ b_2}\) (wybierz tak, aby ułatwić sobie obliczenia) ;] Należy rzecz jasna wyprowadzić jak najprostszy wzór, ale ale nie pogardzę i skomplikowanym, byleby niewiadoma była jedynie sama po jednej ze stron ;]

To jest jeden z problemów, jakie rozważam w pewnym zadaniu algorytmicznym, więc duża liczba mnożeń nieszczególnie przeraża, oby rozwiązanie było poprawne.

Btw. ktoś zrobił prezentację "poglądową":

[Sliwa199]

A no to niestety zadanie nie dla mnie Wykombinowałem już max jak na moje możliwości

[Konikov]

A no to niestety zadanie nie dla mnie Wykombinowałem już max jak na moje możliwości

Chyba mam coś ;] (notacja by borsux)

Weźmy taką zależność:
\(\displaystyle{ \frac{a_2}{z}=\frac{b_2}{b_1 - y}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{y}{a_2}=\frac{a_1 - z}{b_2}}\)

Po mozolnych przekształceniach (ale czy poprawnych?):
\(\displaystyle{ z = \frac{a_2(a_1a_2 - b_1b_2)}{a_2^2-b_2^2}\\\\
y = \frac{a_2(b_1a_2 - a_1b_2)}{a_2^2-b_2^2}}\)

No dobra, ale jak z tego, w jakimś normalnym wzorze, otrzymać \(\displaystyle{ a_2}\) lub \(\displaystyle{ b_2}\)? Coś gigantycznego zaczyna się robić...

[borsux]

w sumie najgorszym problemem jest to, że wprowadzamy zmienne \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a nie znamy ich wartosci. trzeba to w inny sposób wykombinować.