Trójkąt ABC. Wzór Herona albo wysokość opuszczona na bok

[Bolo33]

W trójkącie ABC o polu \(\displaystyle{ 50dm^{2}}\) bok AB ma długość 20dm. Punkt P leży na boku AC i \(\displaystyle{ |CP|= \frac{1}{5}|AC|}\). Punkt Q leży na boku BC i |\(\displaystyle{ CQ|= \frac{1}{5}|BC|}\). Oblicz długość odcinka PQ i pole trójkąta CPQ.

Wzór Herona tutaj chyba nic nie da. Obliczyłem też \(\displaystyle{ h_{a}}\) i nic ogólnie nie zauważam. Twierdzenia Talesa chyba też nie można wykorzystać.

[Mersenne]

1. Wykorzystujesz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{|CP|}{|CQ|}=\frac{|CA|}{|CB|}}\)- zachodzi ta proporcja zatem \(\displaystyle{ PQ \parallel AB}\)

2. Oblicz wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot 20\cdot h=50 \iff h=5}\)

3. Wykorzystujesz twierdzenie Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|PQ|}=\frac{|AC|}{|PC|}=5}\)

\(\displaystyle{ \frac{20}{|PQ|}=5 \iff |PQ|=4}\)

4. Wykorzystujesz podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CPQ}\):

skala podobieństwa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) do trójkąta \(\displaystyle{ CPQ}\) wynosi \(\displaystyle{ k=5}\), zaś stosunek pól tych trójkątów wynosi \(\displaystyle{ k^{2}=25}\), czyli:

\(\displaystyle{ P_{\triangle CPQ}=\frac{P_{\triangle ABC}}{25}=\frac{50}{25}=2 dm^{2}}\)

[Bolo33]

Twierdzenie Talesa \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) Skąd wiadomo że |QP| || |BA|?

[Mersenne]

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

Spójrz: