kąty w trojkacie

[miodek1]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\),dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle A}\) przecina BC w punkcie D.
Jeśli \(\displaystyle{ AB+AD=CD}\) oraz \(\displaystyle{ AC+AD=BC}\), znaleźć \(\displaystyle{ \angle B , \angle C}\)

[anna_]

Masz może do tego odpowiedź?

Doszłam tylko do tego, że \(\displaystyle{ \beta=2\gamma}\) i utknęłam.

[miodek1]

niestety nie mam

[anna_]

Wynik już znam: to \(\displaystyle{ \beta=40^o}\), \(\displaystyle{ \gamma=20^o}\). Niestety nie mam pomysłu na rozwiązanie. Brakuje mi jednej zależności.

AU

5dd5dd4b9bc3089am.png (10.12 KiB) Przejrzano 135 razy

[/url]

\(\displaystyle{ \beta=2\gamma}\) - wyjdzie z trójkąta EDC

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=180^o \\ \beta=2\gamma \\?\end{cases}}\)

[timon92]

Z założeń wynika, że \(\displaystyle{ AC = BD+AB}\). Niech \(\displaystyle{ E \in AC}\) będzie takim punktem, że \(\displaystyle{ DE = EC}\). Wówczas \(\displaystyle{ AE=AB.}\) Łatwo widzieć (bkb), że \(\displaystyle{ \Delta BAD \equiv \Delta EAD}\). Stąd \(\displaystyle{ BD=DE=EC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle AED = 2\angle ECD.}\)

Niech \(\displaystyle{ F \in BC}\) będzie takim punktem, że \(\displaystyle{ FC=AB}\). Wówczas \(\displaystyle{ AD=DF}\)

Z twierdzenia o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \iff AC \cdot BD = AB \cdot CD \iff AC\cdot EC = CF \cdot CD}\)

Zatem punkty \(\displaystyle{ A,E,D,F}\) leżą na okręgu. Ponieważ \(\displaystyle{ AD=AF}\), więc kąty oparte na tych łukach są równe, czyli \(\displaystyle{ \angle D EF = \angle AED \implies \angle ADB = \angle AEF = \angle AED+\angle DE F = 2\angle ABD}\)

Suma kątów w trójkącie równa się \(\displaystyle{ 180^\circ}\) , więc \(\displaystyle{ \angle DBA + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBA + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ}\). Stąd i z wcześniejszych zależności łatwo policzyć, że \(\displaystyle{ \angle B = 40^\circ, \angle C = 20^\circ}\)

edit: poprawiona literówka

[anna_]

\(\displaystyle{ \angle DBA = \angle AED = 2\angle ECD.}\)

\(\displaystyle{ \angle AED+\angle DE F = 2\angle DBA}\)

Nie widzisz tutaj czasem jakiejś sprzeczności?

[timon92]

myślę, że to jest dobrze

[anna_]

Niech \(\displaystyle{ E \in BC}\)

\(\displaystyle{ E \in AC}\)

[timon92]

no tak, literówka, dzięki

[anna_]

Jeszcze nie bardzo wiem, skąd to się wzięło:
\(\displaystyle{ \angle AED+\angle DE F = 2\angle ABD}\)

edit juz wiem