kąty w trojkacie
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 7 wrz 2010, o 07:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: niby warszawa
- Podziękował: 8 razy
kąty w trojkacie
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\),dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle A}\) przecina BC w punkcie D.
Jeśli \(\displaystyle{ AB+AD=CD}\) oraz \(\displaystyle{ AC+AD=BC}\), znaleźć \(\displaystyle{ \angle B , \angle C}\)
Jeśli \(\displaystyle{ AB+AD=CD}\) oraz \(\displaystyle{ AC+AD=BC}\), znaleźć \(\displaystyle{ \angle B , \angle C}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
kąty w trojkacie
Wynik już znam: to \(\displaystyle{ \beta=40^o}\), \(\displaystyle{ \gamma=20^o}\). Niestety nie mam pomysłu na rozwiązanie. Brakuje mi jednej zależności.
[/url]
\(\displaystyle{ \beta=2\gamma}\) - wyjdzie z trójkąta EDC
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=180^o \\ \beta=2\gamma \\?\end{cases}}\)
[/url]
\(\displaystyle{ \beta=2\gamma}\) - wyjdzie z trójkąta EDC
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=180^o \\ \beta=2\gamma \\?\end{cases}}\)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
kąty w trojkacie
Z założeń wynika, że \(\displaystyle{ AC = BD+AB}\). Niech \(\displaystyle{ E \in AC}\) będzie takim punktem, że \(\displaystyle{ DE = EC}\). Wówczas \(\displaystyle{ AE=AB.}\) Łatwo widzieć (bkb), że \(\displaystyle{ \Delta BAD \equiv \Delta EAD}\). Stąd \(\displaystyle{ BD=DE=EC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle AED = 2\angle ECD.}\)
Niech \(\displaystyle{ F \in BC}\) będzie takim punktem, że \(\displaystyle{ FC=AB}\). Wówczas \(\displaystyle{ AD=DF}\)
Z twierdzenia o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \iff AC \cdot BD = AB \cdot CD \iff AC\cdot EC = CF \cdot CD}\)
Zatem punkty \(\displaystyle{ A,E,D,F}\) leżą na okręgu. Ponieważ \(\displaystyle{ AD=AF}\), więc kąty oparte na tych łukach są równe, czyli \(\displaystyle{ \angle D EF = \angle AED \implies \angle ADB = \angle AEF = \angle AED+\angle DE F = 2\angle ABD}\)
Suma kątów w trójkącie równa się \(\displaystyle{ 180^\circ}\) , więc \(\displaystyle{ \angle DBA + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBA + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ}\). Stąd i z wcześniejszych zależności łatwo policzyć, że \(\displaystyle{ \angle B = 40^\circ, \angle C = 20^\circ}\)
edit: poprawiona literówka
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2010, o 20:41 przez timon92, łącznie zmieniany 8 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
kąty w trojkacie
Nie widzisz tutaj czasem jakiejś sprzeczności?timon92 pisze: \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle AED = 2\angle ECD.}\)
\(\displaystyle{ \angle AED+\angle DE F = 2\angle DBA}\)