Czworokąt, równe przekątne, dowód

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Mariusz1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 15:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Czworokąt, równe przekątne, dowód

Post autor: Mariusz1234 »

Witam



W jaki sposób udowodnić, że w dowolnym czworokącie mającym równe przekatne odcinki łączące środki boków tworzą romb ?

Z tw odwrotnego do tw Talesa udowodnimy, że

EF || AC || GH oraz GF || BD || EH

W jaki sposób natomiast udowodnić, że wszystkie boki są równe tego czworokąta EFGH ?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Czworokąt, równe przekątne, dowód

Post autor: Adifek »

Twierdzenie: Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, a jego długość równa się połowie długości tego boku.

Czyli
\(\displaystyle{ |GH|=0,5|AC| \\
|EF|=0,5|AC| \\
|EF|=|GH|}\)

oraz
\(\displaystyle{ |FG|=0,5|BD| \\
|EH|=0,5|BD| \\
|FG|=|EH|}\)



Ponieważ \(\displaystyle{ |AC|=|BD|}\), to \(\displaystyle{ |GH|=|EF|=|EH|=|FG|}\), co kończy dowód.
ODPOWIEDZ