Witam
W jaki sposób udowodnić, że w dowolnym czworokącie mającym równe przekatne odcinki łączące środki boków tworzą romb ?
Z tw odwrotnego do tw Talesa udowodnimy, że
EF || AC || GH oraz GF || BD || EH
W jaki sposób natomiast udowodnić, że wszystkie boki są równe tego czworokąta EFGH ?
Czworokąt, równe przekątne, dowód
- Mariusz1234
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Czworokąt, równe przekątne, dowód
Twierdzenie: Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, a jego długość równa się połowie długości tego boku.
Czyli
\(\displaystyle{ |GH|=0,5|AC| \\
|EF|=0,5|AC| \\
|EF|=|GH|}\)
oraz
\(\displaystyle{ |FG|=0,5|BD| \\
|EH|=0,5|BD| \\
|FG|=|EH|}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ |AC|=|BD|}\), to \(\displaystyle{ |GH|=|EF|=|EH|=|FG|}\), co kończy dowód.
Czyli
\(\displaystyle{ |GH|=0,5|AC| \\
|EF|=0,5|AC| \\
|EF|=|GH|}\)
oraz
\(\displaystyle{ |FG|=0,5|BD| \\
|EH|=0,5|BD| \\
|FG|=|EH|}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ |AC|=|BD|}\), to \(\displaystyle{ |GH|=|EF|=|EH|=|FG|}\), co kończy dowód.