Kat wpisany i dopisany

[zdunekpolska]

Z punktu\(\displaystyle{ P}\)leżącego na zewnątrz okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\) poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ K}\) oraz sieczną, która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne \(\displaystyle{ M}\)i\(\displaystyle{ N}\) . Wiadomo, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle MKP|=40 ^{o}}\) oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle NMK|=80 ^{o}}\). oblicz miary kątów trójkąta \(\displaystyle{ PNK}\).

W podpowiedzi jest napisane, że mam skorzystać z twierdzenia o kącie wpisanym i dopisanym opartym na tym samym łuku. Doszedłem do tego że \(\displaystyle{ | \sphericalangle MPK|=40 ^{o}}\)

[Sherlock]

Bezpośrednio z własności kąta dopisanego wynika, że: \(\displaystyle{ \sphericalangle MKP= \sphericalangle KNP=40^0}\)
Można dojść do tego też np. z tw. o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt. Z tego tw. wynika, że:
\(\displaystyle{ |PK| \cdot |PK|=|PM| \cdot |PN|}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{|PK|}{|PM|}= \frac{|PN|}{|PK|}}\)
Ponadto trójkąty NKP i KMP mają wspólny kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle NPK=40^0}\) zatem na mocy cechy podobieństwa bok-kąt-bok trójkąty NKP i KMP są podobne.