Romb. Obliczanie pola, wykazanie, że romb jest prostokątem.

[delight55]

W rombie ABCD bok AB ma długość 20 cm, a przekątna BD ma długość 24 cm. Punkty E,F,G,H są kolejno środkami boków rombu.

a. wykaż, że czworokąt EFGH jest prostokątem.
b. oblicz pole tego prostokąta.

[irena_1]

P- punkt przecięcia przekątnych rombu.
Jeśli E, F to środki boków trójkata ABC, to (na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa), EF jest równoległy do AC.
Podobnie: HG jest równoległy do AC.
Stąd: EF jest równoległy do HG.
Analogicznie: EH jest równoległy do BD i FG jest równoległy do BD, więc EH jest równoległy do BD.
Czyli czworokąt EFGH jest równoległobokiem.
Ale ponieważ AC jest prostopadłe do BD, to EF jest prostopadłe do AC i tym samym do FG.
stąd wniosek- czworokąt EFGH jest prostokątem.
Trójkąt AOD jest prostokątny. z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AO|^2+12^2=20^2\\|AO|=16\\|AC|=32cm}\)
Punkty E i F to środki boków trójkąta ABC. Trójkąty ABC i EFB są podobne. Czyli \(\displaystyle{ |EF|=\frac{1}{2}|AC|=16cm}\)
Podobnie trójkąty ABD i AEH są podobne i \(\displaystyle{ |EH|=\frac{1}{2}|BD|=12cm}\)
Pole prostokąta EFGH:
\(\displaystyle{ P=12\cdot16=192cm^2}\)