W trapezie trzy boki mają długość a, czwarty bok ma długość b. Uzasadnij, że przekątne trapezu są dwusiecznymi kątów przy boku długości b. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
Jeśli chodzi o uzasadnienie to nie miałem z tym problemów w dwóch przypadkach, gdy b jest ramieniem oraz gdy b jest podstawą.
Jak sformułować twierdzenie odwrotne i sprawdzić czy jest ono prawdziwe ?
Trapez - twierdzenie odwrotne
-
Mariusz1234
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 6 kwie 2010, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Trapez - twierdzenie odwrotne
Jeśli podstawy trapezu są równe a (są równoległe), to wyznaczają równoległobok. Jeśli ramię ma też długość a, to taki trapez jest rombem i oczywiste, że przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów.
Myślę, że trzeba tu mówić o trapezie, w którym jedna z podstaw ma długość równą b.
Tw. odwrotne- jeśli przekątne w trapezie są dwusiecznymi kątów przy jednym z boków, to trzy pozostałe boki tego trapezu mają jednakową długość.
Załóżmy, że mamy do czynienia z trapezem ABCD, w którym przekątne są dwusiecznymi sąsiednich kątów przyległych do podstawy AB.
Wtedy:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|=| \sphericalangle CAD|=| \sphericalangle ACD|}\)
Ta ostatnia równość wynika z równości kątów naprzemianległych.
Czyli trójkąt ACD jest równoramienny, czyli |AD|=|CD|.
Oraz:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle ABD|=| \sphericalangle DBC|=| \sphericalangle BDC|}\)
Czyli trójkąt BCD jest równoramienny, czyli |CD|=|BC|.
Mamy więc, że |AD|=|CD|=|BC|.
Jeśli przyjmiemy, że ramię trapezu ma długość b, to równoramienne są trójkąty ACD i ABD. Wtedy |AB|=|AD|=|CD|, czyli równe są podstawy trapezu (obie maja długość b) i jedno z ramion, czyli trapez jest rombem.
Myślę, że trzeba tu mówić o trapezie, w którym jedna z podstaw ma długość równą b.
Tw. odwrotne- jeśli przekątne w trapezie są dwusiecznymi kątów przy jednym z boków, to trzy pozostałe boki tego trapezu mają jednakową długość.
Załóżmy, że mamy do czynienia z trapezem ABCD, w którym przekątne są dwusiecznymi sąsiednich kątów przyległych do podstawy AB.
Wtedy:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|=| \sphericalangle CAD|=| \sphericalangle ACD|}\)
Ta ostatnia równość wynika z równości kątów naprzemianległych.
Czyli trójkąt ACD jest równoramienny, czyli |AD|=|CD|.
Oraz:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle ABD|=| \sphericalangle DBC|=| \sphericalangle BDC|}\)
Czyli trójkąt BCD jest równoramienny, czyli |CD|=|BC|.
Mamy więc, że |AD|=|CD|=|BC|.
Jeśli przyjmiemy, że ramię trapezu ma długość b, to równoramienne są trójkąty ACD i ABD. Wtedy |AB|=|AD|=|CD|, czyli równe są podstawy trapezu (obie maja długość b) i jedno z ramion, czyli trapez jest rombem.