Pole i Obw prostokata

[Matematyk1000]

1.Przekatne prostokata maja dlugosc 30 cm i przecinaja sie pod katem 60.Oblicz pole i obw
2.Oblicz dlugosc przekatnych rownolegloboku ktorego boki maja dlugosci 9 i 12 a kat ostry ma miare 30

[irena_1]

1. Pole czworokąta:
\(\displaystyle{ P=d_1d_2sin\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ d_1,\ d_2}\)- przekątne, \(\displaystyle{ \alpha}\)- kąt między nimi.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot30^2sin60^0=225\sqrt{3}}\).
Krótszy bok z połowami przekątnych tworzy trójkąt równoboczny, więc a=15.
Z pola:
\(\displaystyle{ ab=225\sqrt{3}\\15b=225\sqrt{3}\\b=15\sqrt{3}}\)

Obwód: \(\displaystyle{ Ob=2(15+15\sqrt{3})=30(1+\sqrt{3})}\)

2.
skorzystaj z twierdzenia cosinusów.

Ukryta treść:    

Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ d_1^2=9^2+12^2-2\cdot9\cdot12cos30^0=9(25-12\sqrt{3}\\d_1=3\sqrt{25-12\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ d_2^2=9^2+12^2-2\cdot9\cdot12cos150^0=9(25+12\sqrt{3})\\d_2=3\sqrt{25+12\sqrt{3}}}\)