Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
-
- Użytkownik
- Posty: 355
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska ;)
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 13 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Witam po wakacyjnej przerwie
Mam problem z jednym zadaniem.
Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ o(A,r_1), o(B,r_2)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ r_1 = k+ 1}\)
\(\displaystyle{ r_2 = 2k - 2}\)
\(\displaystyle{ |AB| = 4k - 4}\)
określ położenie okręgów w zależności od parametru k. I teraz ustaliłem kiedy są rozłącznie zewnętrznie, styczne zewnętrznie i styczne wewnętrznie. Mam problem
z ustaleniem dla jakiego parametru jeden okrąg leży w drugim i kiedy są to okręgi przecinające się. Próbowałem to zrobić tak:
Okręgi są styczne wewnętrznie gdy\(\displaystyle{ AB = | R_1 - R_2 |}\)
Więc:
\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 - ( 2k-2 )}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 -2k + 2 |}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = |-k +3|}\)
I teraz rozumiem, że mam rozpatrzyć 2 przypadki
1.\(\displaystyle{ k \in ( -n, 3 >}\)
2. \(\displaystyle{ k \in (3, n)}\)
1. \(\displaystyle{ 4k-4 = -k +3}\)
\(\displaystyle{ 5k = 7}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{7}{5}}\)
2.\(\displaystyle{ 4k-4 = k - 3}\)
\(\displaystyle{ 3k = 1}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{3}}\)
A w odpowiedzi jest, że K należy od 1 do 7:5. Więc to robię źle?
Okręgi przecinające się czyli \(\displaystyle{ |R_2-R_1|<AB<R_2+R_1}\)
I teraz nie wiem jak mam to zacząć? Gdy podstawie to rozłożyć to na 2 działania ?
Z góry dziękuję za pomoc
Mam problem z jednym zadaniem.
Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ o(A,r_1), o(B,r_2)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ r_1 = k+ 1}\)
\(\displaystyle{ r_2 = 2k - 2}\)
\(\displaystyle{ |AB| = 4k - 4}\)
określ położenie okręgów w zależności od parametru k. I teraz ustaliłem kiedy są rozłącznie zewnętrznie, styczne zewnętrznie i styczne wewnętrznie. Mam problem
z ustaleniem dla jakiego parametru jeden okrąg leży w drugim i kiedy są to okręgi przecinające się. Próbowałem to zrobić tak:
Okręgi są styczne wewnętrznie gdy\(\displaystyle{ AB = | R_1 - R_2 |}\)
Więc:
\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 - ( 2k-2 )}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = | k+1 -2k + 2 |}\)
\(\displaystyle{ 4k-4 = |-k +3|}\)
I teraz rozumiem, że mam rozpatrzyć 2 przypadki
1.\(\displaystyle{ k \in ( -n, 3 >}\)
2. \(\displaystyle{ k \in (3, n)}\)
1. \(\displaystyle{ 4k-4 = -k +3}\)
\(\displaystyle{ 5k = 7}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{7}{5}}\)
2.\(\displaystyle{ 4k-4 = k - 3}\)
\(\displaystyle{ 3k = 1}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{3}}\)
A w odpowiedzi jest, że K należy od 1 do 7:5. Więc to robię źle?
Okręgi przecinające się czyli \(\displaystyle{ |R_2-R_1|<AB<R_2+R_1}\)
I teraz nie wiem jak mam to zacząć? Gdy podstawie to rozłożyć to na 2 działania ?
Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 11:50 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Teraz jest prawie super, indeks dolny uzyskujemy w LaTeXie za pomocą "_{}", w przypadku pojedynczego symbolu można nawet bez ujmowania zawartości indeksu w klamry "{}".
Powód: Poprawa wiadomości. Teraz jest prawie super, indeks dolny uzyskujemy w LaTeXie za pomocą "_{}", w przypadku pojedynczego symbolu można nawet bez ujmowania zawartości indeksu w klamry "{}".
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Dla podanego warunku (używaj konsekwentnie takich samych oznaczeń w całym zadaniu):
\(\displaystyle{ |AB|=|r_{1}-r_{2}|}\)
okręgi są styczne wewnętrznie.
I ten przykład rozwiązałeś prawie do końca, bo dla drugiego przypadku otrzymałeś: \(\displaystyle{ k= \frac{1}{3}}\) ale otrzymane rozwiązanie nie należy do rozpatrywanego przedziału, czyli \(\displaystyle{ (3;+ \infty)}\) (nie wiem dlaczego u Ciebie jest n). Tym samym jedynym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ k= \frac{7}{5}}\)
Natomiast okręgi zawierają się jeden w drugim jeżeli odległość ich środków jest mniejsza od wyliczonej wyżej, czyli spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ |AB|<|r_{1}-r_{2}|}\)
Ale ta odległość nie może być też jednocześnie mniejsza od zera. Musisz więc uwzględnić dodatkowy warunek:
\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \\ \\ 4k-4 \ge 0}\)
W ogóle na początku zadania powinieneś zrobić założenia:
\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \wedge r_{1}>0 \wedge r_{2}>0}\)
i wyznaczyć te wartości k dla których zadanie ma sens.
\(\displaystyle{ |AB|=|r_{1}-r_{2}|}\)
okręgi są styczne wewnętrznie.
I ten przykład rozwiązałeś prawie do końca, bo dla drugiego przypadku otrzymałeś: \(\displaystyle{ k= \frac{1}{3}}\) ale otrzymane rozwiązanie nie należy do rozpatrywanego przedziału, czyli \(\displaystyle{ (3;+ \infty)}\) (nie wiem dlaczego u Ciebie jest n). Tym samym jedynym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ k= \frac{7}{5}}\)
Natomiast okręgi zawierają się jeden w drugim jeżeli odległość ich środków jest mniejsza od wyliczonej wyżej, czyli spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ |AB|<|r_{1}-r_{2}|}\)
Ale ta odległość nie może być też jednocześnie mniejsza od zera. Musisz więc uwzględnić dodatkowy warunek:
\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \\ \\ 4k-4 \ge 0}\)
W ogóle na początku zadania powinieneś zrobić założenia:
\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \wedge r_{1}>0 \wedge r_{2}>0}\)
i wyznaczyć te wartości k dla których zadanie ma sens.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 08:40 przez mat_61, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
\(\displaystyle{ \begin{cases} |R_2-R_1|<AB \\ AB<R_2+R_1 \end{cases}}\)
rozwiąż taki układ nierówności klamra oznacza część wspólna
rozwiąż taki układ nierówności klamra oznacza część wspólna
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 11:51 przez Crizz, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Indeks dolny uzyskujemy w LaTeXie za pomocą "_{}" lub "_".
Powód: Poprawa wiadomości. Indeks dolny uzyskujemy w LaTeXie za pomocą "_{}" lub "_".
-
- Użytkownik
- Posty: 355
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska ;)
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 13 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Dobra wszystko bangla ale.. w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ k \in (1, \frac{7}{5})}\) Więc rozumiem, że zamiast \(\displaystyle{ 4k-4 \ge 4}\) ma być \(\displaystyle{ 4k-4 > 4}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Oczywiście powinno być:sYa_TPS pisze:Dobra wszystko bangla ale.. w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ k \in (1, \frac{7}{5})}\) Więc rozumiem, że zamiast \(\displaystyle{ 4k-4 \ge 4}\) ma być \(\displaystyle{ 4k-4 > 4}\) ?
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0}\) (a nie 4)
Przecież jeżeli odległość pomiędzy środkami okręgów jest równa zero (czyli dla k=1) to okręgi są współśrodkowe i niewątpliwie jeden okrąg leży wewnątrz drugiego (jeżeli okręgi mają różne promienie).
Natomiast odpowiedź wynika z innego warunku. Przeczytaj w moim poprzednim poście jakie powinny być założenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 355
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska ;)
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 13 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
\(\displaystyle{ |AB| \ge 0 \wedge r_{1}>0 \wedge r_{2}>0}\) - domyślam się, że chodzi o to. Rozumiem, że trzeba podstawić i będzie tak:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\) I co dalej?
Mam to 'rozbić' na parę działań? Czy jak?
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\) I co dalej?
Mam to 'rozbić' na parę działań? Czy jak?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Teraz masz rozwiązać każdą z tych nierówności i znaleźć wspólną część tych rozwiązań (to właśnie oznacza znaczek \(\displaystyle{ \wedge}\) czytany jako i), czyli t musi być takie żeby spełniać każdy z tych warunków. Wynikiem będą takie wartości t dla których zadanie ma w ogóle geometryczny sens.
Jakiekolwiek rozwiązanie z tego zadania musi więc zostać ograniczone do tych właśnie wartości (chyba żeby pytanie było typu: jakich wartości nie może przyjmować parametr t).
Jakiekolwiek rozwiązanie z tego zadania musi więc zostać ograniczone do tych właśnie wartości (chyba żeby pytanie było typu: jakich wartości nie może przyjmować parametr t).
-
- Użytkownik
- Posty: 355
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska ;)
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 13 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
To rozumiem, chodzi mi o to jak mam rozwiązać to:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\)
Czy mam to rozpatrzeć tak, że pierw:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1}\) a potem resztę też po kolei czy jak?
Czyli wyjdzie:
\(\displaystyle{ k \ge 1}\)
\(\displaystyle{ k > -1}\)
\(\displaystyle{ k > 1}\)
Czyli część wspólna to od \(\displaystyle{ (1, \infty )}\)?
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\)
Czy mam to rozpatrzeć tak, że pierw:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1}\) a potem resztę też po kolei czy jak?
Czyli wyjdzie:
\(\displaystyle{ k \ge 1}\)
\(\displaystyle{ k > -1}\)
\(\displaystyle{ k > 1}\)
Czyli część wspólna to od \(\displaystyle{ (1, \infty )}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Okrąg w drugim okręgu, okręgi przecinające się
Rozwiązujesz każdą z nierówności osobno i znajdujesz część wspólną tych rozwiązań.sYa_TPS pisze:To rozumiem, chodzi mi o to jak mam rozwiązać to:
\(\displaystyle{ 4k-4 \ge 0 \wedge k + 1 > 0 \wedge 2k - 2 > 0}\)
Twoja odpowiedź jest OK.
Wynika z niej, że rozwiązania muszą zawierać się w przedziale \(\displaystyle{ (1;+ \infty )}\), bo tylko dla takich wartości k zadanie ma geometryczny sens.
W związku z tym wszystkie otrzymane rozwiązania musisz ograniczyć do powyższego przedziału.
Myślę, że teraz rozumiesz dlaczego jest taka odpowiedź w książce?