Zadanie:::
mam czworokąt o bokach a,b,c,d i wierzchołkach A,B,C,D i przekątnych p,q
mam udowodnić:
\(\displaystyle{ 16P^{2}=(4pq)^{2} - (a ^{2} +c ^{2} - b ^{2} -d ^{2} ) ^{2}}\)
proszę o pomoc
ponoć pomocny jest wzór:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot pq \cdot sin \alpha}\)
dowód pola czworokąta
dowód pola czworokąta
Ostatnio zmieniony 30 sie 2010, o 22:50 przez Justka, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. I na przyszłość ułamek:[latex]\frac{licznik}{mianownik} [/latex]
Powód: Poprawa wiadomości. I na przyszłość ułamek:
dowód pola czworokąta
ale jak??
jakbym wiedziala to bym tu nie pisala,
to zadanie jest naprawde trudne.. ;/
jakbym wiedziala to bym tu nie pisala,
to zadanie jest naprawde trudne.. ;/
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
dowód pola czworokąta
Okay, mój pierwszy pomysł (taki na siłę )
Niech \(\displaystyle{ p=k+l}\) oraz \(\displaystyle{ q=m+n}\) (oczywiście punkt przecięcia się p i q jest punktem podziału przekątnych na odpowiednie odcinki), wtedy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=k^2+l^2-2km \cos\alpha \\ b^2=m^2+l^2+2ml \cos\alpha \\ c^2=l^2+n^2-2ln \cos\alpha \\ d^2=k^2+n^2 +2kn \cos\alpha \end{cases} \ \Rightarrow \ a^2-b^2+c^2-d^2=-2\cos\alpha(k+l)(m+n)}\)
czyli \(\displaystyle{ (*) \ (a^2-b^2+c^2-d^2)= -2 \cos \alpah pq}\)
I teraz wykorzystując \(\displaystyle{ (*)}\) oraz to, że \(\displaystyle{ pq=\frac{2P}{\sin \alpha}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 4(pq)^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2= 4(pq)^2-4\cos^2\alpha (pq)^2= 4(pq)^2 \sin^2 \alpha = 4\cdot \frac{4P^2}{\sin^2\alpha} \cdot \\sin^2\alpha=16P^2 \ \ \blacksquare.}\)
Niech \(\displaystyle{ p=k+l}\) oraz \(\displaystyle{ q=m+n}\) (oczywiście punkt przecięcia się p i q jest punktem podziału przekątnych na odpowiednie odcinki), wtedy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=k^2+l^2-2km \cos\alpha \\ b^2=m^2+l^2+2ml \cos\alpha \\ c^2=l^2+n^2-2ln \cos\alpha \\ d^2=k^2+n^2 +2kn \cos\alpha \end{cases} \ \Rightarrow \ a^2-b^2+c^2-d^2=-2\cos\alpha(k+l)(m+n)}\)
czyli \(\displaystyle{ (*) \ (a^2-b^2+c^2-d^2)= -2 \cos \alpah pq}\)
I teraz wykorzystując \(\displaystyle{ (*)}\) oraz to, że \(\displaystyle{ pq=\frac{2P}{\sin \alpha}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 4(pq)^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2= 4(pq)^2-4\cos^2\alpha (pq)^2= 4(pq)^2 \sin^2 \alpha = 4\cdot \frac{4P^2}{\sin^2\alpha} \cdot \\sin^2\alpha=16P^2 \ \ \blacksquare.}\)