odległości punktu przecięcia przekatnych od podstaw

[niuniu_2]

W trapezie równoramiennym o obwodzie 52 i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{313}}\) można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od podstaw.

[irena_1]

Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to suma podstaw jest równa sumie ramion.
a, b (b>a) - podstawy trapezu
c- ramię
\(\displaystyle{ a+b=2c\\Ob=52\\a+b+2c=4c=52\\c=13\\a+b=26}\)

Nazwałam trapez ABCD, gdzie |AB|=b, |CD|=a, P- punkt przecięcia przekątnych. CE- wysokość trapezu
Ponieważ trapez jest równoramienny, więc:
\(\displaystyle{ |BE|=\frac{b-a}{2}\\|AE|=b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}=13\\|CE|^2=(\sqrt{313})^2-13^2=144\\|CE|=12\\|EB|=13^2-12^2=25\\|EB|=5\\|AB|=13+5=18\\|CD|=26-18=8}\)

x, y- szukane odległości (wysokości w trójkątach podobnych ABP i CDP)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=12 \\ \frac{x}{y}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{48}{13} \\ y=\frac{108}{13} \end{cases}}\)