geometria. romb i czworokąt.

[bzyk12]

1. Punkty K i L leżą odpowiednio ba bokach AD i BC czworokąta wypukłego ABCD, przy czym: \(\displaystyle{ \frac{AK}{KD}= \frac{CL}{LB}}\). Prosta KL przecina odcinki AC i BD odpowiednio w punktach P i Q. Dowieść, że: \(\displaystyle{ \frac{KP}{QL}= \frac{[ACD]}{[BCD]}}\), gdzie \(\displaystyle{ [X]}\) - oznacza pole figury X.
2. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AB i AD rombu ABCD. Proste CE i CF przecinają przekątną BD odpowiednio w punktach K i L. Proste EL i FK przecinają boki CD i CB odpowiednio w punktach P i Q. Dowieść że CP=CQ.

[timon92]

1. Podpowiedź:


2. Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \frac{DP}{EB} = \frac{DL}{LB} = \frac{DF}{BC} \\ \frac{QB}{DF} = \frac{BK}{KD} = \frac{EB}{DC}}\)

[bzyk12]

Nadal nie wiem jak zrobić pierwsze.

[timon92]

Niech \(\displaystyle{ E,F}\) będą takimi punktami na odcinkach \(\displaystyle{ AB, CD}\), że \(\displaystyle{ \frac{AE}{EB} = \frac{AK}{KD} = \frac{CL}{LB} = \frac{CF}{FD}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ ELFK}\) jest równoległobokiem.

Niech \(\displaystyle{ G,H,X}\) - punkty przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AC,EK}\) , \(\displaystyle{ EL,BD}\) i \(\displaystyle{ AC,BD}\). Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie na prostej \(\displaystyle{ CD}\) taki, że \(\displaystyle{ AY || BD}\)

Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{KP}{QL} = \frac{\frac{KP}{KL}}{\frac{QL}{KL}} = \cdots \\ \frac{[ACD]}{[BCD]} = \frac{AY}{BD} = \cdots}\)

//edit: teraz widzę, że niepotrzebnie wprowadzałem punkt \(\displaystyle{ F}\), bo z niego w ogóle nie korzystam