wzór na okrąg na podstawie punktów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
gerlin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 lut 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: gerlin »

witam drogich forumowiczów. Nie wyliczał ktoś z Was wzoru na okrąg na podsawie trzech punktów ( ewentualnie sferę na podstawie czterech )albo nie zna linka gdzie można znaleźć taki wzorek ?
Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: Fingon »

Równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\), to współrzędne środka okręgu, a \(\displaystyle{ r}\) promień okręgu. Teraz wystarczy rozwiązać układ równań.
Jeśli chodzi o sferę to postępujesz analogicznie, tylko dodajesz kolejny wymiar we wzorze \(\displaystyle{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2= r^2}\)
gerlin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 lut 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: gerlin »

to trochę roboty :/ nie można potraktować tych punktów jako wierzchołków trójkąta i na tej podstawie obliczyc promień?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: Crizz »

Może odrobinę łatwiej będzie Ci skorzystać z faktu, że symetralna każdej cięciwy przechodzi przez środek okręgu. Załóżmy, że masz dane punkty A,B i C. Wystarczy wyznaczyć symetralne odcinków np. AB i BC, a ich punkt przecięcia będzie środkiem okręgu. Promień wyznaczasz potem jako odległość dowolnego punktu spośród A, B i C, od otrzymanego środka okręgu.

Do wyznaczenia prostych AB i BC przyda się wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}\):
\(\displaystyle{ y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})}\)
(tak naprawdę interesuje Cię tylko wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\), która jest współczynnikiem kierunkowym szukanej prostej - znając go, będziesz wiedział, jaki współczynnik kierunkowy ma mieć odpowiednia symetralna).

Myślę, że wiesz, jak wyznaczyć środki odcinków AB i BC.

Na koniec będziesz miał do rozwiązania układ dwóch równań liniowych (a nie trzech drugiego stopnia, jak w wyżej zaproponowanej metodzie).

Jeśli masz jakieś wątpliwości, to wyślij swoje rozwiązanie, sprawdzimy (ewentualnie mogę pokazać Ci jak to zrobić na konkretnym przykładzie, ale lepiej byłoby, gdybyś spróbował sam).

W przestrzeni to już raczej nie unikniesz tego układu równań...
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: irena_1 »

Ja myślę, że w obu przypadkach nie jest trudne skorzystanie z układu równań kwadratowych.
Żeby doprowadzić je do postaci liniowej, można na przykład od pierwszego równania odjąć po kolei pozostałe. W ten sposób pozbędziesz się kwadratów zmiennych po lewej stronie i kwadratu promienia po prawej. Otrzymasz układ dwóch- w przypadku okręgu lub trzech- w przypadku sfery równań liniowych, bez promienia. Promień później łatwo można obliczyć.
gerlin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 lut 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

wzór na okrąg na podstawie punktów

Post autor: gerlin »

dziękki za pomoc. Problem rozwiązany
ODPOWIEDZ