Zadanie jest takie:
Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie A i prosta K, będąca styczną do tych dwóch okręgów w punktach B i C. Uzasadnij, że środek odcinka BC leży w takiej samej odległości od punktu A, jak od B i C.
Okręgi styczne
-
pietasz
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 25 sie 2010, o 15:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Okręgi styczne
Ostatnio zmieniony 25 sie 2010, o 17:07 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Okręgi styczne
Środek okręgu stycznego z prostą k w punkcie B nazwij O. Środek drugiego okręgu nazwij P. Środek odcinka BC nazwij S. Promień okręgu o środku O ma długość r, a drugiego okręgu długość R.
Promienie OB i OC są prostopadłe do stycznej k i równoległe do siebie.
Czworokąt BCPO jest trapezem prostokątnym, w którym:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle OBC|=| \sphericalangle PCB|=90^0\\| \sphericalangle CPO|=\alpha\\| \sphericalangle POB|=180^0-\alpha}\)
Trójkąty: BOA i CPA są równoramienne (|BO|=|OA|=r i |CP|=|PA|=R).
Stąd:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAO|=\frac{\alpha}{2}\\| \sphericalangle PAC|=90^0-\frac{\alpha}{2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|=90^)}\)
Trójkąt ABC jest więc trójkątem prostokątnym, w którym kąt przy wierzchołku A jest prosty, a odcinek AS jest środkową poprowadzoną na przeciwprostokątną. Ponieważ środek przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym (tutaj punkt S) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, więc odcinki: BS, SC i SA są promieniami tego okręgu.
Stąd równość wskazanych odcinków.
Promienie OB i OC są prostopadłe do stycznej k i równoległe do siebie.
Czworokąt BCPO jest trapezem prostokątnym, w którym:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle OBC|=| \sphericalangle PCB|=90^0\\| \sphericalangle CPO|=\alpha\\| \sphericalangle POB|=180^0-\alpha}\)
Trójkąty: BOA i CPA są równoramienne (|BO|=|OA|=r i |CP|=|PA|=R).
Stąd:
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAO|=\frac{\alpha}{2}\\| \sphericalangle PAC|=90^0-\frac{\alpha}{2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|=90^)}\)
Trójkąt ABC jest więc trójkątem prostokątnym, w którym kąt przy wierzchołku A jest prosty, a odcinek AS jest środkową poprowadzoną na przeciwprostokątną. Ponieważ środek przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym (tutaj punkt S) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, więc odcinki: BS, SC i SA są promieniami tego okręgu.
Stąd równość wskazanych odcinków.