sześciokąt, środki boków i ich połączenie.

[bzyk12]

Dany jest sześciokąt wypukły. Każdy z trzech odcinków łączących środki przeciwległych boków tego sześciokąta dzieli go na dwa pięciokąty o równych polach. Dowieść że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie.

[timon92]

Rozważmy sześciokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD EF}\), oznaczmy środki boków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DE,EF,FA}\) przez \(\displaystyle{ K,L,M,N,O,P}\). Niech każdy z odcinków \(\displaystyle{ KN,LO,MP}\) dzieli ten sześciokąt na dwie równe części. Przez \(\displaystyle{ [X]}\) oznaczam pole figury \(\displaystyle{ X}\)

Lemat: \(\displaystyle{ X \in KN \iff [AXEF] = [BCDX]}\). Jakbyś miał problem z dowodem lematu, to pisz.

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ KN,LO}\). Na mocy lematu zachodzi \(\displaystyle{ [AGEF]=[BCDG] \wedge [GFAB] = [CDEG]}\). Pokaż, że z tych równości wynika \(\displaystyle{ [EFGD]=[ABCG]}\). To na mocy lematu będzie dowodziło, że \(\displaystyle{ G}\) leży na prostej \(\displaystyle{ MP}\)

[Mistrz]

Weźmy dowolną skończoną figurę płaską \(\displaystyle{ P}\) o dodatnim polu powierzchni. Narysujmy \(\displaystyle{ n>1}\) różnych linii prostych takich, że każda dzieli tę figurę na dwie o równych polach. Czy nie wydaje się wam, że wszystkie te linie przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości figury \(\displaystyle{ P}\)?

[timon92]

jest to całkiem możliwe