Promień łuku znając długość łuku oraz strzałkę ugięcia luku

[soad_fan]

Mam taki o to problem: mianowicie potrzebuje znaleźć równanie uzależniające promień łuku mając daną jego długość i strzałkę ugięcia. Nie mam podanej długości cięciwy gdyż takie zadanie byłoby banalne. Zatem dane są tylko długość łuku i strzałka ugięcia tego łuku. Kąt środkowy tego łuku powinien być mniejszy niż 180 stopni. Proszę o pomoc, zależy mi aby otrzymać równanie typu r=f(l,h) lub kąt łuku=f(l,h) gdzie r to promień łuku, l długość łuku a h strzałka ugięcia.
Z góry dziękuje i przepraszam za ewentualne nieścisłości.

[steal]

Wg mnie żadnej z przedstawionych przez Ciebie postaci rozwiązania nie otrzymasz, tzn nie będzie to równanie jawne, tylko uwikłane.

Długość łuku \(\displaystyle{ l}\) równa jest iloczynowi kąta środkowego \(\displaystyle{ \varphi}\) i promienia \(\displaystyle{ r}\) tego okręgu: \(\displaystyle{ l=\varphi\cdot r\quad (1)}\). Na rysunku narysujmy kąt wpisany w dany łuk (który jak wiemy z geometrii jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku) i podzielmy go dwusieczną na równe kąty o mierze \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{4}}\) każdy. Zauważyć można dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ r}\) oraz jednym z kątów \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{4}}\). Tangens tego kąta wynosi:
\(\displaystyle{ \tg\frac{\varphi}{4}=\frac{r}{h}}\).
Jeżeli do powyższej zależności podstawimy zależność (1) to otrzymamy dwa równoważne wzory:
\(\displaystyle{ \tg\frac{\varphi}{4}=\frac{l}{\varphi\cdot h} \iff \tg\frac{l}{4r}=\frac{r}{h}}\)
Jak można zauważyć w żadnym przypadku nie można otrzymać jawnej zależności na promień lub kąt środkowy.

[soad_fan]

Własnie do tego że to będzie funkcja uwikłana sam doszedłem i chyba trzeba będzie to metodą iteracji rozwiązywać. Myślałem jednak że mając takie dane jak długość łuku i jego strzałkę można to jakoś wyliczyć dokładnie bo przecież dla danej długości łuku i strzałki istnieje tylko jedna kombinacja promienia i kąta łuku. Problem ten staram się rozwiązać w celu ustawienia parametryczności projektu sprężyny płaskiej resoru, która się ugina przy zmianie siły co uzyskać można tylko poprzez zmianę strzałki w programie Autodesk Inventor (uzależnienie promienia lub/i kąta łuku od strzałki ugięcia). Dlatego też chce wykorzystać stałą długość uginanej sprężyny a nie na jej cięciwie. Zależałoby mi na tym aby promień lub kąt łuku był uzależniony tylko od długości łuku (sprężyny) i strzałki ugięcia. Za odpowiedz serdecznie dziekuje, niemniej jednaj czekam na inne opinie w tym temacie. Z góry dziękuje.

[steal]

Myślałem jednak że mając takie dane jak długość łuku i jego strzałkę można to jakoś wyliczyć dokładnie bo przecież dla danej długości łuku i strzałki istnieje tylko jedna kombinacja promienia i kąta łuku.

No, ale to co napisałem to jest ścisłe rozwiązanie. Niestety rzeczywistość bywa nieliniowa i nic na to nie da się poradzić. Zamiast rozwiązywać to iteracyjnie proponuję rozwinąć tangens w szereg potęgowy, przemnożyć obydwie strony przez \(\displaystyle{ \varphi}\) lub \(\displaystyle{ r}\) aby wielkości te zniknęły z mianownika a następnie odrzucić wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszymi dwoma (jednym?). Otrzymasz wtedy bodajże równanie kwadratowe.

[soad_fan]

No cóż myślałem, że to prostsze jest ale jak tyle z tym roboty to dam sobie spokój. W sumie dla niewielkich strzałek cięciwa ma w przybliżeniu taką samą długość co łuk co upraszcza znacznie sytuację, więc szkoda czasu na to. Dziękuję za pomoc, temat jak dla mnie już chyba zamknięty.

[Longines]

Interesuje Cię rozwiązanie teoretyczne, czy praktyczne.

[soad_fan]

Zanim zobaczyłem jak skomplikowane to jest, to interesowało mnie rozwiązanie dokładne, teoretyczne. Teraz jednak zamiast długości łuku skorzystam z cięciwy. Ale jeśli byłoby jednak rozwiązanie to chodziłoby mi o teoretyczne. Bo praktyczne to własnie byłoby wystarczające te z cięciwą.