Witam
Chciałbym się dowiedzieć czy jest możliwe obliczenie średnicy okręgu znając jedynie długość cięciwy i długość łuku który tworzy ta cięciwa. Główkuję już nad tym od godziny i nic.
Mogę podać że długość cięciwy wynosi 484 cm a długość łuku 517 cm
średnica okręgu
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
średnica okręgu
Jeżeli to jest element wycięty z czegoś - zmierz wysokość wycinka - narysuj koło i z pitagorasa.
albo
odrysuj wycinek na arkuszu, poprowadź prostopadłą do cięciwy i cyrklem szukaj promienia.
albo
odrysuj wycinek na arkuszu, poprowadź prostopadłą do cięciwy i cyrklem szukaj promienia.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
średnica okręgu
Niech \(\displaystyle{ c,l}\) oznacza daną długość cięciwy i łuku okręgu odpowiednio, zaś \(\displaystyle{ r,\alpha}\) będą odpowiednio długością promienia okręgu i miarą łukową kąta środkowego opartego na danym łuku \(\displaystyle{ l}\).
Z twierdzenia kosinusów mamy \(\displaystyle{ c^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos\alpha}\).
Z drugiej strony ze wzoru na długość łuku okręgu mamy \(\displaystyle{ l=2\pi\cdot r\cdot\frac{\alpha}{2\pi}}\). Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ \alpha=\frac{l}{r}}\), a stąd i z pierwszego równania dostajemy teraz
Z twierdzenia kosinusów mamy \(\displaystyle{ c^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos\alpha}\).
Z drugiej strony ze wzoru na długość łuku okręgu mamy \(\displaystyle{ l=2\pi\cdot r\cdot\frac{\alpha}{2\pi}}\). Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ \alpha=\frac{l}{r}}\), a stąd i z pierwszego równania dostajemy teraz
\(\displaystyle{ c^2=2r^2(1-\cos\frac{l}{r})}\).
Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ r}\), którego - jak widać - nie można rozwiązać algebraicznie, a jedynie metodą graficzną (lub inną metodą poszukiwania przybliżonych wartości ewentualnych rozwiązań).