Statek, który wpłynął do portu kieruje sie do punktu przeładunkowego P. Na rysunku przedstawiono położenie statku względem nabrzeża portowego w momencie, gdy znajdował się w równych odległościach od dźwigów portowych \(\displaystyle{ D_{1}}\) i \(\displaystyle{ D_{2}}\) .
a) Oblicz odległość statku od dżwigów portowych.
b) Znajdź odległość statku od punktu przeładunkowego P. Wynik podaj w kilometrach.
W a) mi wyszło 1, 7 km, a b) nie mam pojecia jak zrobić
Statek w porcie
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Statek w porcie
W a) wynik jest poprawny.
Do b) proponuję takie rozumowanie. Oznaczmy przez S aktualne położenie statku. Niech \(\displaystyle{ \alpha=|\angle PD_1S|}\). Wtedy z twierdzenia o sumie miar kątów w czworokącie mamy \(\displaystyle{ |\angle PD_2S|=180^o-\alpha}\). Ze wzoru redukcyjnego jest \(\displaystyle{ \cos\angle PD_2S=-\cos\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ PD_1S}\) i \(\displaystyle{ PD_2S}\) dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |PS|^2=|PD_1|^2+|D_1S|^2-2|PD_1||D_1S|\cos\alpha \\ |PS|^2=|PD_2|^2+|D_2S|^2+2|PD_2||D_2S|\cos\alpha \end{cases}}\). Z tego układu należy wyznaczyć szukaną odległość \(\displaystyle{ |PS|}\).
Do b) proponuję takie rozumowanie. Oznaczmy przez S aktualne położenie statku. Niech \(\displaystyle{ \alpha=|\angle PD_1S|}\). Wtedy z twierdzenia o sumie miar kątów w czworokącie mamy \(\displaystyle{ |\angle PD_2S|=180^o-\alpha}\). Ze wzoru redukcyjnego jest \(\displaystyle{ \cos\angle PD_2S=-\cos\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów zastosowanego do trójkątów \(\displaystyle{ PD_1S}\) i \(\displaystyle{ PD_2S}\) dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |PS|^2=|PD_1|^2+|D_1S|^2-2|PD_1||D_1S|\cos\alpha \\ |PS|^2=|PD_2|^2+|D_2S|^2+2|PD_2||D_2S|\cos\alpha \end{cases}}\). Z tego układu należy wyznaczyć szukaną odległość \(\displaystyle{ |PS|}\).
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Statek w porcie
Ale o ten układ równań pytasz? Można go rozwiązać metodą przeciwnych współczynników (choć faktycznie nie jest to łatwe rachunkowo). Wstawiając dane wartości \(\displaystyle{ |PD_1|=2,3\ km, |PD_2|=0,7\ km}\) oraz wyznaczone \(\displaystyle{ |D_1S|=|D_2S|=1,7\ km}\) mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} |PS|^2=8,18-7,82\cos\alpha \\ |PS|^2=3,38+2,38\cos\alpha \end{cases}}\) Odejmując drugie równanie od pierwszego mamy \(\displaystyle{ 0=4,8-10,2\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{24}{51}}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ |PS|^2=\frac{9}{2} (km^2)}\), tj. \(\displaystyle{ |PS|=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ km}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} |PS|^2=8,18-7,82\cos\alpha \\ |PS|^2=3,38+2,38\cos\alpha \end{cases}}\) Odejmując drugie równanie od pierwszego mamy \(\displaystyle{ 0=4,8-10,2\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{24}{51}}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ |PS|^2=\frac{9}{2} (km^2)}\), tj. \(\displaystyle{ |PS|=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ km}\).