Rysunek przedstawia próbę rekonstrukcji dawnego placu miejskiego. Z istniejących zapisów wiadomo, że plac miał kształt koła, a zachowane do dnia dzisiejszego fragmenty czterech kamieniczek znajdujących się na obrzeżu placu pozwoliły na wykonanie pomiarów, których wyniki przedstawione zostały na rysunku. Oblicz, jaka była
a) odległość między kamieniczkami B i D;
b) odległość między kamieniczkami A i C;
c) powierzchnia placu.
Plac miejski
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Plac miejski
a) Ponieważ na czworokącie ABCD opisano okrąg, to \(\displaystyle{ |\angle A|+|\angle C|=|\angle B|+|\angle D|}\). Stąd i z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych w czworokącie mamy \(\displaystyle{ |\angle B|=90^o, |\angle C|=120^o}\).
Z twierdzenia kosinusów mamy teraz \(\displaystyle{ |BD|^2=|BC|^2+|CD|^2-2|BC||CD|\cos\angle C}\).
b) Niech O oznacza środek koła, a \(\displaystyle{ r}\) długość jego promienia. Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym wynika, że \(\displaystyle{ |\angle BOD|=2|\angle A|=120^o}\). Z a) i z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie BOD mamy \(\displaystyle{ |BD|^2=r^2+r^2-2r^2\cos\angle BOD}\). Wystarczy stąd wyznaczyć \(\displaystyle{ r}\), gdyż w myśl twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy koła z założenia \(\displaystyle{ |\angle D|=90^o}\) mamy \(\displaystyle{ |AC|=2r}\).
c) Z b) i z twierdzenia Pitagorasa wyznacz długości boków AB, AD. Zauważ, że przekątna AC dzieli czworokąt ABCD na dwa trójkąty prostokątne. Obliczając sumę pól tych dwóch trójkątów otrzymasz pole czworokąta (powierzchnię placu).
Z twierdzenia kosinusów mamy teraz \(\displaystyle{ |BD|^2=|BC|^2+|CD|^2-2|BC||CD|\cos\angle C}\).
b) Niech O oznacza środek koła, a \(\displaystyle{ r}\) długość jego promienia. Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym wynika, że \(\displaystyle{ |\angle BOD|=2|\angle A|=120^o}\). Z a) i z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie BOD mamy \(\displaystyle{ |BD|^2=r^2+r^2-2r^2\cos\angle BOD}\). Wystarczy stąd wyznaczyć \(\displaystyle{ r}\), gdyż w myśl twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy koła z założenia \(\displaystyle{ |\angle D|=90^o}\) mamy \(\displaystyle{ |AC|=2r}\).
c) Z b) i z twierdzenia Pitagorasa wyznacz długości boków AB, AD. Zauważ, że przekątna AC dzieli czworokąt ABCD na dwa trójkąty prostokątne. Obliczając sumę pól tych dwóch trójkątów otrzymasz pole czworokąta (powierzchnię placu).
-
myszka666
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pkr
- Podziękował: 35 razy
Plac miejski
Czyli \(\displaystyle{ \left|BD \right| =70 m}\), \(\displaystyle{ \left|AC \right| = \frac{140 \sqrt{3} }{3} m}\) ?
A mogłabym prosić o policzenie pola? Bo za każdym razem inaczej mi wychodzi
A mogłabym prosić o policzenie pola? Bo za każdym razem inaczej mi wychodzi
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Plac miejski
\(\displaystyle{ |AC|,|BD|}\) obliczyłaś poprawnie.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy teraz
\(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{|AC|^2-|CD|^2}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 4900-2500}=\sqrt{\frac{12100}{3}}=\frac{110\sqrt{3}}{3} (m), |AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 4900-900}=\frac{130\sqrt{3}}{3} (m)}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{|AD||CD|+|AB||BC|}{2}=\frac{\frac{5500\sqrt{3}}{3}+\frac{3900\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{4700\sqrt{3}}{3} (m^2)}\).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy teraz
\(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{|AC|^2-|CD|^2}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 4900-2500}=\sqrt{\frac{12100}{3}}=\frac{110\sqrt{3}}{3} (m), |AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 4900-900}=\frac{130\sqrt{3}}{3} (m)}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{|AD||CD|+|AB||BC|}{2}=\frac{\frac{5500\sqrt{3}}{3}+\frac{3900\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{4700\sqrt{3}}{3} (m^2)}\).