pole trapezu

[marek12]

Trapezy \(\displaystyle{ RSNM}\) oraz \(\displaystyle{ MNPQ}\) są podobne, \(\displaystyle{ \text{RS} = 3, \text{m}\angle\text{MRQ} = \text{m}\angle\text{NSP} = 90\textdegree, \text{MQ} = \text{NP} = 5}\). Oblicz pole \(\displaystyle{ \text{RSNM}.}\)

[lukasz1804]

Mój pomysł jest dość karkołomny, ale skuteczny (mam nadzieję, że też poprawny).

Niech \(\displaystyle{ k>1}\) będzie skalą podobieństwa trapezów (MNPQ do RSNM). Wówczas w szczególności mamy \(\displaystyle{ |NS|=\frac{5}{k}, |MN|=3k, |PQ|=3k^2}\).
Wysokość \(\displaystyle{ h}\) w trapezie RSNM wynosi (wobec twierdzenia Pitagorasa) \(\displaystyle{ h=\sqrt{(\frac{5}{k})^2-(\frac{3k-3}{2})^2}}\). Wobec podobieństwa trapezów RSNM i MNPQ wysokość w trapezie PQRS ma długość \(\displaystyle{ kh-h=(k-1)h}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy teraz \(\displaystyle{ h^2(k-1)^2+(\frac{3k^2-3}{2})^2=5^2-(\frac{5}{k})^2}\).
Zatem

\(\displaystyle{ \bigg[(\frac{5}{k})^2-(\frac{3k-3}{2})^2\bigg](k-1)^2+(\frac{3k^2-3}{2})^2=5^2-(\frac{5}{k})^2}\),

tj.

\(\displaystyle{ \bigg[(\frac{5}{k})^2-(\frac{3k-3}{2})^2\bigg](k-1)^2+(\frac{3k^2-3}{2})^2=(\frac{5}{k})^2(k-1)(k+1)}\).

Pozostaje rozwiązać to (nieprzyjemne) równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ k}\)- sprowadzalne do równania wielomianowego czwartego stopnia (a to można wreszcie rozwiązać w oparciu o wzory Cardano). Później już prosto - wystarczy skorzystać ze wzoru na pole trapezu.

[bakala12]

Według Exela równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste:
\(\displaystyle{ k=1 \vee k \approx -1,397345}\)

[lukasz1804]

Hmm... ja sprowadziłem to równanie do równania \(\displaystyle{ 9k^3(k-1)=50}\). A ono ma tylko jeden pierwiastek w liczbach \(\displaystyle{ k>1}\): leży on w przedziale (1,2). Być może się mylę, więc proszę jeszcze o sprawdzenie i komentarz.