Dziesięciokąt foremny
-
wawek91
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 2 cze 2010, o 08:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 66 razy
Dziesięciokąt foremny
Pole jest równe polu 10-ciu trójkątów równoramiennych o wysokości 12 oraz kątach 36, 72, 72. Zastosuj twierdzenie sinusów i już powinno być łatwiej.
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Dziesięciokąt foremny
Dziesięciokąt foremny składa się z 10 przystających trójkątów równoramiennych. Promień okręgu wpisanego jest wysokością w takim jednym trójkącie.
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę - r.
O tym trójkącie wiemy także, że jak położymy obok siebie 10 takich trójkątów, wyjdzie dziesięciokąt, a to oznacza, że miara kąta między równymi ramionami jest jedną dziesiątą miary kąta pełnego, czyli wiemy, że taki kąt ma \(\displaystyle{ 36^\circ}\). Wysokość jest dwusieczną tego kąta. Zatem w rezultacie możemy rozpatrywać trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 0,5a i r, oraz o kącie ostrym \(\displaystyle{ 18^\circ}\).
Teraz z trygonometrii:
\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{0,5a}{r} \Rightarrow a=2rtg18^\circ}\)
Znamy r, więc możemy teraz policzyć pole jednego trójkąta:
\(\displaystyle{ S_{\Delta}= \frac{1}{2}ar=r^2tg18^\circ}\)
Zatem pole dziesięciokąta:
\(\displaystyle{ S=10S_{\Delta}=10r^2tg18^\circ}\)
\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{ \sqrt{25-10 \sqrt{5} } }{5}}\)
80546.htm
\(\displaystyle{ S=2\sqrt{25-10 \sqrt{5} }r^2}\)
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę - r.
O tym trójkącie wiemy także, że jak położymy obok siebie 10 takich trójkątów, wyjdzie dziesięciokąt, a to oznacza, że miara kąta między równymi ramionami jest jedną dziesiątą miary kąta pełnego, czyli wiemy, że taki kąt ma \(\displaystyle{ 36^\circ}\). Wysokość jest dwusieczną tego kąta. Zatem w rezultacie możemy rozpatrywać trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 0,5a i r, oraz o kącie ostrym \(\displaystyle{ 18^\circ}\).
Teraz z trygonometrii:
\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{0,5a}{r} \Rightarrow a=2rtg18^\circ}\)
Znamy r, więc możemy teraz policzyć pole jednego trójkąta:
\(\displaystyle{ S_{\Delta}= \frac{1}{2}ar=r^2tg18^\circ}\)
Zatem pole dziesięciokąta:
\(\displaystyle{ S=10S_{\Delta}=10r^2tg18^\circ}\)
\(\displaystyle{ tg18^\circ= \frac{ \sqrt{25-10 \sqrt{5} } }{5}}\)
80546.htm
\(\displaystyle{ S=2\sqrt{25-10 \sqrt{5} }r^2}\)