Zadanie z równoległobokiem

[Kamila]

Mam mały problem z tym zadankiem:

Dany jest równoległobok ABCD. Na przekątnej BD obrano dowolny punkt P, a na bokach BC i CD takie punkty K i L, że
• odcinek PK jest równoległy do odcinka AB
• odcinek PL jest równoległy do odcinka AD
Odcinki AK i AL przecinają przekatną BD odpowiednio w punktach M i N. Należy udowodnić, że pole trójkąta AMN jest równe sumie pól trójkątów BKM i DLN.

Proszę o pomoc

[Bierut]

AU

8a53839bd66bc3c1.jpg (7.81 KiB) Przejrzano 59 razy

[/url]
Pola poszczegulnych figur będę oznaczał według przykładu: \(\displaystyle{ P_{ABCD}}\)

Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ P_{AMN}=P_{BKM}+P_{DLM}}\)
Z rysunku widzimy, że wysokości trójkątów ALD i APD są równej długości, bo AD||LP, więc te dwa trójkąty mają takie samo pole.
Podobnie jest z \(\displaystyle{ P_{ABK}}\) i \(\displaystyle{ P_{ABP}}\).
\(\displaystyle{ P_{DLM}=P_{ALD}-P_{AMD}}\)
\(\displaystyle{ P_{BKM}=P_{ABK}-P_{ABM}}\)

\(\displaystyle{ P_{AMN}=(P_{APD}-P_{AMD})+(P_{APD}-P_{ABM})=2P_{APD}-(P_{AMD}+P_{ABM})}\)
\(\displaystyle{ P_{DLM}+P_{BKM}=2P_{APD}-(P_{AMD}+P_{ABM})}\)

I udowodnione.