wielokąt, który ma wszystkie kąty proste.

piotrek9299 · Post autor: **piotrek9299** » 15 cze 2010, o 19:05

Czy każdy wielokąt wypukły, który ma wszystkie kąty proste jest prostokątem?

jamboree · Post autor: **jamboree** » 15 cze 2010, o 19:09

inaczej być nie może

piotrek9299 · Post autor: **piotrek9299** » 15 cze 2010, o 19:15

tyle to ja wiem. Kwestia: dlaczego?

jamboree · Post autor: **jamboree** » 15 cze 2010, o 19:21

jak na mój chłopski rozum jest tak:
suma kątów w n-kącie \(\displaystyle{ = (n-2) \cdot 180 \textdegree}\)
czyli w tym przypadku
\(\displaystyle{ \frac{(n-2) \cdot 180 \textdegree }{n \cdot 90} =1}\)
taka zależność zachodzi tylko dla n=4

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 15 cze 2010, o 19:28

Każdy wielokąt możemy podzielić za pomocą przekątnych poprowadzonych do jednego wierzchołka na \(\displaystyle{ n-2}\) trójkątów, w związku z czym suma miar kątów dowolnego n-kąta wynosi:

\(\displaystyle{ S_n=180^\circ(n-2)}\)

Rozważamy wielokąt, w którym wszystkie kąty są proste, czyli można zapisać sumę miar jego kątów następująco:

\(\displaystyle{ S_n=90^\circ \cdot n}\)

Mamy zatem równanie:

\(\displaystyle{ 180^\circ(n-2)=90^\circ \cdot n}\)

Którego jedynym rozwiązaniem jest n=4, zatem istnieje dokładnie jeden taki wielokąt. Jest nim czworokąt.