Objętość gran. 8-kąt. foremnego

Xeo · Post autor: **Xeo** » 7 cze 2010, o 20:05

Mam dany graniastosłup prawidłowy ośmiokątny o wysokości 5 i krawędzi podstawy 2. Jak obliczyć objętość?
Proszę bez funkcji, jestem w 2 klasie gimnazjum.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 7 cze 2010, o 21:53

Ośmiokąt został wycięty z kwadratu.

Xeo · Post autor: **Xeo** » 8 cze 2010, o 14:43

No i co w związku z tym?

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 8 cze 2010, o 14:55

Wzór na pole ośmiokąta foremnego w zależności od długości jego krawędzi da się wyprowadzić (jak wzór na pole każdego n-kąta foremnego). Ale do tego potrzebna jest trygonometria, której pewnie jeszcze nie miałeś.

Ogólny wzór jest taki:

\(\displaystyle{ S_n= \frac{a^2n}{4}ctg \frac{180^\circ}{n}}\)

Czyli do ośmiokąta potrzebna jest funkcja trygonometryczna kąta \(\displaystyle{ 22,5^\circ}\), którą można wyprowadzić lub wziąć z tablic.

Gotowy wzór będzie taki:

\(\displaystyle{ S=2(1+ \sqrt{2})a^2}\)

Pole podstawy masz, myślę, że dalej sobie poradzisz.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 cze 2010, o 17:04

Xeo pisze:No i co w związku z tym?

Z kwadratu (zrób rysunek) odcięto naroża w kształcie trójkatów prostokątnych równoramiennych o przeciwprostokątnej (2).
Z Pitagorasa przyprostokątna takiego trójkąta to \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).
Bok kwadratu (z którego wycięto ośmiokąt) ma \(\displaystyle{ \sqrt 2+2+\sqrt 2}\).

Pole ośmiokąta to : pole kwadratu o boku \(\displaystyle{ (2+2\sqrt 2)}\) odjąć pola czterech naroży.

Jak widzisz idzie bez funkcji trygonometrycznych.