jednokładność i podobieństwo

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
matemat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 cze 2010, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bolesławiec
Podziękował: 1 raz

jednokładność i podobieństwo

Post autor: matemat »

Cześć, mam wielki problem z zadaniem z matematyki. Jestem w 2 klasie gimnazjum. Na sześć zadań poprawnie zrobiłam 5. Nauczycel chce mi wstawić czwórkę ;/ Dlatego że to nasz wychowawca, powiedział że jeśli zrobie to jedno zadanie w domu wstawi mi piątkę. U mnie w klasie nie ma żadnych matematycznych głow i nie potrafią się z tym zadaniem uporać. Miałabym wielką prośbę do was o pomoc w jego rozwiązaniu.

Zadanie:
Dany jest prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a \ i \ b \ \ (|a| > |b|)}\). Skonstruuj prostokąt podobny do danego w skali \(\displaystyle{ \frac{|b|}{|a|}}\).

Z góry dziękuje, zadanie mam oddać w poniedziałek 7 czerwca
Ostatnio zmieniony 3 cze 2010, o 13:53 przez Justka, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
matshadow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 941
Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kingdom Hearts
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 222 razy

jednokładność i podobieństwo

Post autor: matshadow »

Skoro \(\displaystyle{ k=\frac{a}{b}}\), to
\(\displaystyle{ \begin{cases} b'=kb=a\\a'=ka=\frac{a^2}{b}\end{cases}}\)
Takie będą długości nowych boków
alicior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 maja 2010, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 8 razy

jednokładność i podobieństwo

Post autor: alicior »

Jeśli to ma być konstrukcja to wydaje mi się że to można zrobić tak. Rysujesz ramiona dowolnego kąta ostrego, oznaczmy jego wierzchołek O. Na jednym ramieniu odkładasz kolejno długości boków b i (od końca b) a. Powiedzmy że odcinek |OS| to jest bok b, i odcinek |SM| to jest bok a. Następnie na drugim ramieniu odkładasz bok a ( oznaczmy że jest to |ON|). Teraz łączysz punkty S i N i z punktu M prowadzisz odcinek równoległy do SN przecinający ramię kąta ON w punkcie np D. Odcinek ND to bok |a| nowego trójkąta. Tak samo robisz dla boku b (zamiast odkładać na drugim ramieniu a odkładasz b).
matemat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 cze 2010, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bolesławiec
Podziękował: 1 raz

jednokładność i podobieństwo

Post autor: matemat »

Albo ja nie zrozumialam waszych wypowiedzi albo wyście nie zrozumieli ( w co naprawde szczerze wątpię) zadania. Jeżeli a jest wieksze od b to jak mam od b odłożyć a? Ja chyba mam dzisiaj jakiś gorszy dzień bo nie rozumiem. Lub tak samo wpierwszej wypowiedzi skąd się wzieły ułamki i potęga?
alicior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 maja 2010, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 8 razy

jednokładność i podobieństwo

Post autor: alicior »

Aha sorki. Ja to zrobiłem dla \(\displaystyle{ \frac{|a|}{|b|}}\), i tam faktycznie był błąd. Czyli ma być odwrotnie. To jeszcze raz.
Rysujesz ramiona dowolnego kąta ostrego, oznaczmy jego wierzchołek O. Na jednym ramieniu odkładasz kolejno od początku ramienia długości boków b i a. Powiedzmy że odcinek |OS| to jest bok b, i odcinek |OM| to jest bok a. Następnie na drugim ramieniu odkładasz bok a ( oznaczmy że jest to |ON|). Teraz łączysz punkty M i N i z punktu S prowadzisz odcinek równoległy do MN przecinający ramię kąta ON w punkcie np D. Odcinek OD to bok |a| nowego prostokąta. Tak samo robisz dla boku b (zamiast odkładać na drugim ramieniu a odkładasz b).
matemat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 cze 2010, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bolesławiec
Podziękował: 1 raz

jednokładność i podobieństwo

Post autor: matemat »

Tak. Teraz takie amatorskie pytanie do aliciora. Czy boki tego prostokąta mniej więcej zamienią się długościami? Aha, i jak wytłumazyc nauczycielowi, w jaki sposób dokonałam tego odkrycia?
TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

jednokładność i podobieństwo

Post autor: TheBill »

alicior, korzystał z tw. Talesa, tylko na Jego przykładzie nie bardzo to widać

Skoro \(\displaystyle{ k=\frac{b}{a}}\), to
\(\displaystyle{ \begin{cases} b'=kb= \frac{b^2}{a} \\a'=ka=b\end{cases}}\)
Jeden bok szukanego prostokąta już mamy, jest to długość \(\displaystyle{ b}\), teraz wyznaczymy drugi bok o długości \(\displaystyle{ \frac{b^2}{a}}\). Niech \(\displaystyle{ x=\frac{b^2}{a}}\), przekształcamy aby łatwo można było skorzystać z tw. Talesa (a właściwie z podobieństwa trójkątów), więc \(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \frac{x}{b}}\) i teraz postępujemy podobnie:

Robimy ostry kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ A}\), odmierzamy na jednym ramieniu długość \(\displaystyle{ b}\) (odcinek \(\displaystyle{ AB}\)), na drugim ramieniu odmierzamy długość \(\displaystyle{ a}\) (odcinek \(\displaystyle{ AC}\)), a następnie dalej (na tym samym ramieniu) odmierzamy odcinek \(\displaystyle{ b}\) (odcinek \(\displaystyle{ CD}\)). Łączymy odcinkiem punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), konstruujemy prostą równoległą do \(\displaystyle{ BC}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ D}\), która przecina półprostą \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\), odcinek \(\displaystyle{ BE}\) to nasze \(\displaystyle{ x}\)

Mając dwa boki prostokąta, poradzisz sobie z konstrukcją tego prostokąta
ODPOWIEDZ