Oblicz pole podanego trapezu.

[mateeusz94]

Siedziałem dość sporo nad tym rysunkiem i nic nie przychodzi mi do głowy, mógłbyś mi wyjaśnić jak niby ten trapez składa się z dwóch kwadratów o boku 1?

[Pan Kartofl]

Ale chcesz dowód na to, że to jest prostokąt, czy nie wychodzi Ci rysunek? Chodzi mi o to, że prostokąt 2x1 spełnia to zadanie, więc jednym z rozwiązań jest P=2. Formalnego dowodu dalej szukam. Wyobraź sobie, że \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC}\) jest prosty i wtedy narysuj. Albo wyjasnij o co pytasz.


Edit:

Znalazłem sprzeczność, z której może ktoś mądrzejszy ode mnie wyciagnie uzasadnienie, że to jest prostokąt.

Przedłużmy boki AD i BC tak, żeby powstał trójkąt równoramienny o trzecim wierzchołku P. Jednocześnie na \(\displaystyle{ \delta EBC}\) gdzie E środek AD opiszmy okrąg. Z twierdzenia o siecznej i stycznej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (|PD| + 1) ^{2}=(|PC| +2)|PC|}\) a ponieważ |PC|=|PD| otrzymujemy piękne 1=0.

Czy jest to wystarczający dowód na to, że proste zawierajace |PD| i |PC| nie przecinają się? Oznaczałoby to, że są równoległe, stąd nasz trapez to prostokąt o bokach 1 i 2.

[?ntegral]

Pan Kartofl, moim zdaniem jest ok.

Od początku wiedziałem, że to nie będzie trapez w klasycznym rozumieniu tego słowa.

[mateeusz94]

W poniedziałek pójdę do szkoły i się zapytam babki która mi dała to zadanie i zobaczymy kto miał racje ;d

-- 3 cze 2010, o 17:16 --

Chyba sam do tego doszedłem:

według mnie kąty trójkąta widocznego na rysunku(tego z kątem prostym) wynoszą 90,45 i 45 stopni. Z twierdzenia pitagorasa obliczyłem, że oby dwie podstawy wynoszą 1. Wiec nasz trapez jest prostokątem o wymiarach 1 na 2, czyli jego pole wynosi 2.

Co o tym sądzicie?

[?ntegral]

Na podstawie czego stwierdziłeś, że kąty wynoszą 45, 45 i 90 stopni?

[TheBill]

Znalazłem sprzeczność, z której może ktoś mądrzejszy ode mnie wyciagnie uzasadnienie, że to jest prostokąt.

Przedłużmy boki AD i BC tak, żeby powstał trójkąt równoramienny o trzecim wierzchołku P. Jednocześnie na \(\displaystyle{ \delta EBC}\) gdzie E środek AD opiszmy okrąg. Z twierdzenia o siecznej i stycznej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (|PD| + 1) ^{2}=(|PC| +2)|PC|}\) a ponieważ |PC|=|PD| otrzymujemy piękne 1=0.

Czy jest to wystarczający dowód na to, że proste zawierajace |PD| i |PC| nie przecinają się? Oznaczałoby to, że są równoległe, stąd nasz trapez to prostokąt o bokach 1 i 2.

Moim zdaniem to nie jest dowód, albo czegoś tu nie rozumiem. Skąd wiesz, że prosta \(\displaystyle{ AP}\) jest styczna do tego okręgu opisanego akurat w punkcie \(\displaystyle{ E}\)?

[Pan Kartofl]

Masz rację, tego nie przemyślałem, zaraz to ogarnę. To co powiedziałeś przy okazji nasunęło mi, że gdyby jednak E było pktem styczności, to bez twierdzenia o siecznej i stycznej mamy, że AD jest prostopadły do środkowej (bo środkowa jest promieniem) i nie trzeba się tak męczyć. No ale niestety magiczny dowód poległ, wracam do główkowania.

[piasek101]

Zaraz pokażę tu rysunek - powtarzam \(\displaystyle{ P\in(\sqrt 3; 2>}\)

Oto on.

AU

1dc041e70c1b7fca.gif (2.49 KiB) Przejrzano 66 razy

Okrąg o promieniu (1); nie wrysowywałem trójkątów prostokątnych aby nie zaciemniać rysunku.

Największy trapez będzie prostokątny, najmniejszy będzie prawie trójkątem równobocznym.

[mateeusz94]

uważam że mają one 90,45 i 45 stopni ponieważ ramiona tego trójkąta oparte są na tej samej prostej BC, wydaje mi się dlatego, że bedą one miały tyle samo - czyli 45 stopni

[piasek101]

uważam że mają one 90,45 i 45 stopni ponieważ ramiona tego trójkąta oparte są na tej samej prostej BC, wydaje mi się dlatego, że bedą one miały tyle samo - czyli 45 stopni

To tylko jedna z możliwości - rysunek jest już wyżej.

zrob prosta rownolegla do podstaw i przechodzaca przez srodki ramion ( odcinek EF, gdzie E nalezy do AD, F nalezy do BC),

|EC|=b
|EB|=y
|EF|=x
...
\(\displaystyle{ x=1}\)

i dostaniemy dwa trojkaty rownoramienne o ramieniu dlugosci 1

Tu wszystko jest ok, ale to, że ten odcinek ma (1) mamy od razu z tego, że jest to środkowa trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej.

[Pan Kartofl]

Wychodzi na to, że miałes rację. <chyli czoła>

[mateeusz94]

Czyli podsumowując poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ P\in(\sqrt 3 ; 2>}\) ?

[piasek101]

Czyli podsumowując poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ P\in(\sqrt 3 ; 2>}\) ?

Ja mogę tylko potwierdzić.

Istnieje (małe) przypuszczenie, że jeszcze coś było dane w zadaniu.

[mateeusz94]

Po całym męczeniu się z tym zadaniem, Pani od której otrzymałem to zadanie powiedziała mi że jest ono błędne, osoba od której niby otrzymała to zadanie musiała jej źle przekazać...


Mimo wszystko dziękuję za pomoc ;]

[piasek101]

Istnieje (małe) przypuszczenie, że jeszcze coś było dane w zadaniu.

Ale zadanie jako takie nie jest ,,błędne" - przecież dało się go rozwiązać.