Część pola równoległoboku

[majkel15]

W równoległoboku ABCD połączono kolejno odcinkami środki boków i otrzymano czworokąt EFGH.
Jaką część pola równoległoboku ABCD stanowi pole równoległoboku EFGH?Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie dla drugiej klasy gimnazjum, dlatego proszę o ustosunkowanie się z wykonaniem zadania do poziomu.

Pozdrawiam.

[pelas_91]

Twierdzenie Talesa już mieliście?

[majkel15]

Owszem

[pelas_91]

Narysuj to ładnie, punkty wg. alfabetu, niech E leży na środku AB itd.

1. Z Tw. odwrotnego do Tw. Talesa pokaż że EH, DB i GF są równoległe. Analogicznie HG, AC, EF.
2. Teraz z Tw. Talesa [dopiero teraz wolno je użyć] wykaż że \(\displaystyle{ |HE|=|GF|=0,5|BD|}\) analogicznie \(\displaystyle{ |GH|=|EF|=0,5|AC|}\)
3. Zauważ że trójkąt AEH jest podobny trójkąta ABD, w jakiej skali? Jak mają się ich pola? Na koniec -> jaką częścią pola dużego równoległoboku jest pole AEH.

Czynność 3) wykonaj także dla BFE, CGF i DHG.

Pole małego równoległoboku to pole dużego minus te trójkąciki.

Przedstaw na forum obliczenia.

[majkel15]

1.

\(\displaystyle{ \frac{\left|AE\right|}{\left|AH\right|} = \frac{\left|AB\right|}{\left|AD\right|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|AE\right|}{\left|AH\right|} = \frac{\left|2AE\right|}{\left|2AH\right|} \rightarrow \left|HE\right| \left| \right| \left|BD\right|}\)


\(\displaystyle{ \frac{\left|CG\right|}{\left|CF\right|} = \frac{\left|CD\right|}{\left|CB\right|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|CB\right|}{\left|CF\right|} = \frac{\left|2CB\right|}{\left|2CF\right|} \rightarrow \left|GF\right| \left| \right| \left|BD\right|}\)

\(\displaystyle{ \left|HE\right| \left| \right| \left|BD\right| \left| \right| \left|GF\right|}\)

2.

\(\displaystyle{ \frac{\left|AE\right|}{\left|AB\right|} = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{\left|HE\right|}{\left|BD\right|} = \frac{1}{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{\left|CG\right|}{\left|CD\right|} = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{\left|GF\right|}{\left|BD\right|} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left|HE\right| = \left|GF\right| = 2 \left|BD\right|}\)

3.

\(\displaystyle{ k = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{AEH}}{P_{ABD}} = k^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{AEH}}{P_{ABD}} = 4}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|AEH\right|}{\left|ABCD\right|} = \frac{1}{8}}\)


\(\displaystyle{ AEH = \frac{1}{8} ABCD}\)
\(\displaystyle{ CFG = \frac{1}{8} ABCD}\)
\(\displaystyle{ FEB = \frac{1}{8} ABCD}\)
\(\displaystyle{ HGD = \frac{1}{8} ABCD}\)

\(\displaystyle{ HGFE = \frac{1}{2} ABCD}\)

[pelas_91]

Świetnie! Tylko mam nadzieje że ten dziwny zapis w 6 ostatnich linijkach w domyśle oznacza Pola odpowiednich figur.

[majkel15]

Tak, chodziło o pola (pogubiłem się trochę w LaTeX-ie, bo pierwszy raz z niego korzystałem i zapomniałem dopisać "P"). Dzięki za nakierowanie