Udowodnij, że czworokąt jest trapezem

[izi]

Witam.

Mam takie zadanie: Odcinek łączący środki przeciwległych boków czworokąta wypukłego dzieli ten czworokąt na równe pola. Udowodnij, ze ten czworokąt jest trapezem.

[timon92]

Oznaczmy ten czworokąt jako \(\displaystyle{ ABCD}\), a punkty \(\displaystyle{ K, L, M, N}\) niech będą środkami boków \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DA}\). Powiedzmy, że odcinek \(\displaystyle{ KM}\) dzieli czworokąt na części o równych polach. Mamy więc \(\displaystyle{ [AKMD]=[KBCM]}\). ([F] oznacza pole figury F)

Wskazówki:
1. \(\displaystyle{ KLMN}\) jest równoległobokiem więc \(\displaystyle{ [KMN]=[KLM]}\)
2. \(\displaystyle{ [AKN] + [LCM] = [BKL] + [DNM]}\)

[izi]

Więc |LN| || |DC| oraz |AB| i będzie połową ich sumy.

[timon92]

tak

[izi]

Ale to chyba trochę za mało żeby udowodnić że figura jest trapezem (tak mi się wydaje).

[timon92]

wystarczy udowodnić, że dwa boki są równoległe, a to zostało zrobione: \(\displaystyle{ AB \left| \right| LN \left| \right| CD}\)